Деформации модулярных алгебр Ли

• Автор: Чебочко, Наталья Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 91 с.

Оглавление
Введение

1 Общие сведения из теории алгебр Ли.

1.1 Класические алгебры Ли

1.2 Определение когомологий алгебры Ли

1.3 Спектральные последовательности

1.4 Деформации алгебр Ли

1.5 Вспомогательные утверждения

2 Вычисление когомологий.

2.1 Вычисление Щ(Ь, Ь)

2.2 Когомологии ненулевого веса при р >
2.3 Когомологии ненулевого веса при р =
3 Жесткость алгебры Ли типа (Дг при р = 3.
3.1 Общие сведения об алгебрах Ли типа бг
3.2 Вычисление Н2(Л, Ь)
3.2.1 Вычисление Н$(Ь, Ь)
4 Деформации алгебры Ли типа (?2 при р — 2.
Литература

Введение
В настоящей работе изучаются деформации классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики. Под классической алгеброй Ли над полем К мы понимаем алгебру Ли простой алгебраической группы, либо ее факторалгеб-ру по центру.
Глобальной деформацией алгебры Ли Ь называется семейство алгебр Ли, параметризованных точками связного гладкого многообразия, одной из точек которого соответствует алгебра Ли Ь. Алгебра Ли Ь называется жесткой, если существует ее окрестность (в топологии Зарисского на многообразии структур алгебр Ли на векторном пространстве К), все точки которой являются алгебрами Ли, изоморфными Ь.
Описание деформаций простых алгебр Ли представляет интерес в связи с одной из центральных проблем теории алгебр Ли - классификацией простых алгебр Ли. Классификация простых р-алгебр Ли была получена Р. Блоком и Р. Вильсоном [1] в 1984 г. для р > 7. В 1991 г. X. Штраде и Р. Вильсон [26] анонсировали доказательство гипотезы Кострикина-Шафаревича в общем случае также при р > 7. Согласно этой гипотезе простая алгебра Ли либо является классической, либо изоморфна простой алгебре Ли картановского типа. В последние годы появились результаты А. Премета и X. Штраде по классификации простых алгебр Ли при р = 5,7. Проведенное исследование показывает, что к списку простых алгебр Ли торального ранга <3 добавляется лишь алгебра Меликяна Б (1,1). Тонкий случай классификационной проблемы для простых конечномерных алгебр Ли при р = 2,3 представляется чрезвычайно сложным. Здесь известно несколько серий простых исключительных алгебр Ли, отличных от классических алгебр Ли и алгебр Ли картановского типа. Более того, при малых характеристиках основного поля классические алгебры не определяются однозначно своей системой корней.
В случае малой характеристики основного поля особую роль играют деформации простых алгебр Ли и близких к ним алгебр. Теория деформаций дает технику построения новых алгебр Ли и выявления связей между различными алгебрами.
Классическая теория деформаций ассоциативных алгебр и алгебр Ли начинается с работ М. Герстенхабера [8] и А. Нийенхейса, Р. Ричардсона [21] в 1960 годах. Они изучали однопараметрические деформации и установили связь между когомологиями алгебры Ли и инфинитезимальными деформациями.

Г. Браун заметил, что классические простые алгебры Ли не являются жесткими при р — 3. Над полем характеристики 3 корневую систему типа С'ч могут иметь неизоморфные алгебры Ли, см. [2]. В 1970 г. А.И. Кострикин построил параметрические семейства неизоморфных простых алгебр Ли характеристики 3, которые являются глобальными деформациями алгебры Ли Сч [12]. Позднее
А.С. Джумадильдаев [6] анонсировал результат, согласно которому алгебра Ли Сч - единственная среди алгебр Ли серий Ап, Вп, Сп, £>п, допускающая нетривиальные деформации при р — 3. Полное описание глобальных деформаций алгебры Ли Сч получено А. И. Кострикиным и М.И. Кузнецовым [13]. А.Н. Рудаковым [22] установлено, что над полем характеристики р > 3 все классические алгебры Ли являются жесткими. При р — 2 некоторые деформации алгебры Ли типа Єч были построены китайским математиком Гуанжу Шень [10].
Проблема описания деформаций алгебры Ли разбивается на две задачи:
1) Описать пространство локальных деформаций, элементами которого являются коциклы из второй группы когомологий алгебры Ли с коэффициентами в присоединенном модуле.
2) Затем решить вопрос о продолжаемости локальных деформаций. Для решения этого вопроса необходимо найти разбиение на орбиты пространства локальных деформаций относительно действия группы автоморфизмов алгебры Ли и проверить продолжаемость представителей из каждой орбиты.
Условие Н2(Ь, Ь) = 0 является достаточным условием жесткости алгебры Ли Ь (см. [13], [8]).
В работе рассматриваются все классические алгебры Ли над полем характеристики р > 2. Над полем характеристики 2 рассматриваются алгебры Ли, схемы Дынкина которых не имеют кратных ребер, то есть алгебры Ли типов А/, ■О;, Б'є, Е7, и их факторалгебры по центру, а также алгебра Ли типа Сч-
Приведем основные результаты работы.
1) Разработана новая схема исследования жесткости классических модулярных алгебр Ли над полем характеристики р > 0, основанная на теории градуированных алгебр Ли.
Используемая ранее техника позволяла доказать жесткость классических алгебр Ли только при р > 3 (А.Н. Рудаков, 1971).
На основе этой техники доказана
Теорема 1 Все классические алгебры Ли над полем характеристики р > 2 являются жесткими, кроме алгебры Ли типа Сч прир = 3. Над полем характе-

линейно независимы как функции на Н. Если Ь имеет тип Д, I = 0(2) при р = 2, то среди аз,..., а/ есть I — 3 линейно независимые функции.
Теперь из леммы 10 (а) следует, что для любого а 6 Й1 существует {—3, если Л имеет тип Д (I = 0(р)), и I — 2, в остальных случаях, линейно независимых корня у £ Но, таких что у + а, у — а не являются корнями. Если у + а & Л, у — а £ Л, то еа о е7 = в-а о е7 = 0. Так как е7 € То и 1р(Ео,Ьо) = 0, то из тождества Якоби для еа, е_а, е7 следует, что [Да,е7] = у(На)е7 — 0. Таким образом, На содержится в пересечении ядер I — 2 (соответственно / — 3, если Л имеет тип Д, I = 0(2)) линейно независимых функций 7. Так как /г(а) и центр алгебры Ь также содержатся в этом пересечении, то На = хаН(а) + уаг1+1аг2, где ха, уа, £а £ К, < 21, г2 > - центр Ь, г2 6 "Но (если центр одномерный, то гг = 0). Таким образом,
еа о е-а = Н(а) - 21 + е{хаЦа) + уаг 1 + гаг2). (2.9)
Для завершения доказательства предложения нам необходимо доказать следующее утверждение.
Лемма 12 (а) Пусть Л - система корней ранга I > 2, а, (3 £ Л. Если существует простой корень у £ Ло, такой что а = /3 + у, то ха = хр, уа = ур,Ьа — Ьр-(Ь) Если Л - система типа А2, то ха = хр, уа — Ур для любых а, (3 £ Л
Доказательство, (а) Из леммы 10 (Ь) следует, что Иа — Ир + Л7. Поэтому, Л(а) = /г(/3) + /г7.
Пусть [е7,е_а] = Ве-р, [е7, ер] = Аеа, ер о е_а = Се_7, где А, В.£ К*, С -обратимый элемент из К{е. Так как е7 £ То, то из тождества Якоби
07 ° (ед ° О^о;) — (е7 О вуз) О в — а Т ер О (е7 О е_о;) и условий на коцикл 1р следует, что
СЛ7 = Аеа о е_а + Вер о е_р.
Из (2.9) получаем, что
СТ17 = А(Ь(а)-г1+е(хак(а) + уаг1+Ьаг2)) + В(И,(Р)-г1+£{хрк((3)+ург1+1аг2)). Так как Н(а) = Л(/?) + Д7, то
С/г7 = (В + А)Н{(3) - (В + А)21 + А/г7 + е{Вхр + Аха)Н{В) + е(Вур +
+ Ауа)г 1 + е(А£а + ВЬр)г2 + £АхаЛ,7. Из этого равенства следует, что А + В = 0 и (Да^ + Аха)Н/3) + (Вур + Ауа)г1 + {АЬа + ВЬр)г2 + АхаЬП = 0. Так как 21 не содержится в По, а Н(/3), /ь,, г2 £ До, то Вуд + Ауа — 0. Следовательно, мы