Тождества и линейность квазигрупп

• Автор: Табаров, Абдулло Хабибуллоевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 203 с.

Оглавление
Введение
1 Квазигруппы с условиями линейности
1.1 Основные понятия и необходимые сведения
1.2 Основные свойства линейных и алинейных квазигрупп
1.3 Различные типы линейности (алинейности) квазигрупп и их
связь
1.4 Группы регулярных подстановок квазигрупп и их изотопов
1.5 Простые линейные (алинейные) квазигруппы
1.6 Эндотопии и эндоморфизмы линейных и близких к ним
квазигрупп
1.7 Автотопии и антиавтотопии линейных квазигрупп
1.8 Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных квазигрупп
2 Тождества в различных классах линейных и алинейных квазигрупп
2.1 Ядра и центр линейных (алинейных) квазигрупп
2.2 Ядра и линейность
2.3 Тождества, определяющие различные типы
линейных квазигрупп
2.4 Характеризация линейных (алинейных) квазигрупп
единственным тождеством
2.5 Связь уравновешенных тождеств с линейными квазигруппами
2.6 Уравновешенные тождества и Т-квазигруппы
2.7 Некоторые многообразия Т-квазигрупп с уравновешенными
тождествами
2.8 Многообразие Т-квазигрупп с дополнительными
тождествами

3 Тождества с подстановками и линейность квазигрупп
3.1 Тождества с подстановками и квазигруппы, изотопные группам
3.2 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы
3.3 Тождества с подстановками, полуалинейные и алинейные квазигруппы
3.4 Тождества с подстановками и квазигруппы
смешанного типа линейности
3.5 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы над абелевой группой
3.6 Тождества в примитивной квазигруппе, связанные с линейностью квазигруппы
3.7 Способ нахождения квазигрупповых тождеств из некоторого многообразия луп
4 Свободные квазигруппы в многообразиях линейных и
алинейных квазигрупп
4.1 О задании алгебр многообразия системами образующих элементов и определяющих соотношений
4.2 О свободных квазигруппах в некоторых многообразиях линейных и алинейных квазигрупп
4.3 Нормальные формы и некоторые свойства линейных квазигрупп
4.4 Построение свободных линейных квазигрупп
4.5 Решение проблемы тождественных соотношений для некоторых многообразий линейных квазигрупп
5 Линейные группоиды, близкие к квазигруппам
5.1 Группоиды с тождеством, определяющим коммутативные лупы Муфанг
5.2 О конгруэнциях группоидов, близких к квазигруппам
5.3 Конгруэнции группоидов из некоторых классов
5.4 Простые группоиды
Литература

Введение
Диссертация посвящена исследованию линейных квазигрупп и некоторых их обобщений. Линейные квазигруппы были введены В.Д.Белоусовым в 1967 году в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. В работе большое внимание уделяется проблеме характеризации рассматриваемых классов квазигрупп тождествами.
О значимости тождества в алгебрах можно цитировать высказывание выдающегося математика А.И.Мальцева: “Хотя тождества представляют собой простейшие закрытые высказывания логического языка, язык тождеств все же дост,ат,очно богатый, чтобы на нем можно было выражать многие тонкие свойства систем и их классов” [41].
Теория квазигрупп берет свое начало в 20-30-х годах XX столетия, когда после фундаментальных работ Давида Гильберта в конце XIX столетия по аксиоматизации математики и, в частности по аксиоматизации геометрии, появились работы по изучению разных видов аксиоматик, в основном, по системам аксиом различных геометрий, в том числе евклидовой геометрии, проективной геометрии, геометрии Лобачевского.
Так как геометрии координатизируются с использованием различного рода алгебраических объектов (полей, почти-полей, тел, групп, полугрупп), то изучались различного рода системы аксиом указанных выше алгебраических объектов.
Впервые термин квазигруппа появился в работе Руфи Муфанг [109] (1935) по координатизации проективных плоскостей. Другими словами, с одной стороны, квазигруппы возникли в недрах (проективной) геометрии, а с другой, - еще раньше, как комбинаторный объект - латинские квадраты в работах Леонарда Эйлера [73-75]. Можно утверждать, что термин квазигруппа появился при изучении вопроса независимости аксиом в системах аксиом проективной плоскости. Таким образом, после упомянутой работы Р. Муфанг квазигруппы приобрели “законное право” на самостоятельное существование.
В своих работах Муфанг под квазигруппой понимала объект, который

Теорема 3.1.3. Если в квазигруппе. (<3,-) выполняется тождество аі(а2(х 8і у) 82 г) = а3х 8з «4(а5у 84 севг),
(о2(ж 81 у) 82 = «зж 8з 84 о6г))
с/лл некоторых подстановок с*;, г Є 1,6 (оі,г Є 2,6), то квазигруппа (б,-) изот,оппа группе (абелевой группе).
Обратно, если квазигруппа {(,-) изотопна группе (абелевой группе.), т.о в ней выполняется тооісдество (38) (тождество (39)) для некоторых подходящих подстановок щ, г Є 1,6.
Как следствие можно получить тождества В.Д.Белоусовя, характеризующие класс квазигрупп, изотопных группам (абелевым группам).
Следствие 3.1.1. Квазигруппа {С},-) изотопна группе, (абелевой группе.) т,огда и только тогда, когда в ней выполняется тождество
Г ((х(уг))/и)и = х(и(/и)и))
1 ІАІуіА'»)) = 'иМуіА'»)))
для произвольно фиксированных элементов и — а,у — Ь, в частности для и = у — а (для произвольного (фиксированного элемента х — а),а, Ь Є

Ниже будем для краткости обозначать класс всех линейных слева (справа) квазигрупп через ЬС (ПС), а класс всех линейных квазигрупп -через С. Отметим, что С, С ЬС, С С ЫС, более того С = ЬС П ЫС.
Теорема 3.2.1. Пусть (<3, ) - квазигруппа, тогда (<Э,-) Є ЬС, если
в (Яг) выполняется одно из тождеств:
аі(ху г) — а3х а4(а5у а6г), (40)
ху г = а2х а4(аьу * а6г); (41)
(<3,-) Є ЫС, если в (<3,-) выполняется одно из тождеств:
а2(ху) г = агх (а5у а6г), (42)
«2{х * у) г = а3х (аъу а6г); (43)
(С),-) Є С, если в (<3,-) выполняется одно из тождеств:
аг(ху г) = а3ж (а5у а6г), (44)
оДжу г) = а3х - а4(у а6г), (45)
а2(ху) г = а3х (у а6г), (46)