Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп

• Автор: Митина, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 134 с.

Содержание
Введение
1 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2{q), где q нечетно

1.1 Предварительные сведения

1.1.1 Таблицы характеров групп PSL2{q), где q нечетно

1.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры

1.1.3 Общие свойства таблиц характеров групп PSL2{q), q нечетно

1.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно

1.2.1 Классовые кольца характеров

1.2.2 Алгебраическая сопряженность

1.3 Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL-2 ( 1.4 Теоремы разложения
1.4.1 Случай q = 3 (mod 4) или и является квадратом
1.4.2 Случай q = 1 (mod 4) и q не является квадратом
1.4.3 Ранги
1.5 Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2{17)
2 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2 ((/), где q нечетно
2.1 Предварительные сведения
2.1.1 Таблицы характеров групп РОТ2(з), Я нечетно
2.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры
2.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PGL2{q),
q нечетно
2.3 Общие свтЧства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно
2.4 Теорема разложения
2.5 Ранги
2.6 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2{7) и PGL2(9)
Литература
Приложения

Основные обозначения
Z — кольцо целых (рациональных) чисел.
Q — поле рациональных чисел.
R — поле действительных чисел.
С — поле комплексных чисел.
Q(Cn) — круговое поле, полученное присоединением к Q корней из 1 степени п. Q(y) — поле характера у (получается присоединением к Q всех значений %) и(К) — группа единиц (обратимых элементов) кольца К.
Z(K) — центр кольца К.
ЦК) — (под) кольцо целых кольца К.
ZG — целочисленное групповое кольцо группы G.
СG — комплексная групповая алгебра группы G.
V — нормализованная группа центральных единиц группового кольца ZG.
X(G) — система представителей классов сопряженности группы G.
Y(G) — базис из классовых сумм центра группового кольца ZG.
у(х) — классовая сумма в целочисленном групповом кольце группы G класса сопряженности xG.
ъ{х) коэффициент при классовой сумме у(х) в разложении центрального элемента v группового кольца ZG по базису K(G).
Irr(G) — множество всех неприводимых комплексных характеров группы G.
Irr(G, ale) — система представителей классов эквивалентности алгебраически сопряженных неприводимых комплексных характеров.
Irr(x, ale) — класс характеров, алгебраически сопряженных с у.
E{G) — базис из минимальных центральных идемпотентов центра комплексной групповой алгебры CG.
е(х) — минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру х в разложении по базис}' E(G).
Pv(x) ~ коэффициент при е(х) в разложении центрального элемента v алгебры CG по базису E(G).
ф — теоретико-числовая функция Эйлера.
h(s) — число целых положительных делителей данного числа s.

Введение
Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Диссертационные исследования в основном касаются второго направления, т. е. изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.
Вопросы мультипликативной структуры колец сначала рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. К ним относятся теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел [13] (Теорема И.4.5), результаты Синнота [24], [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман [20] исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.
Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.
Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.
В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свой-ства(свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовдн [18] и Джесперса [21].
В работах [16, 22] получено описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р5Х2(5) = А5. Также в [16] описана группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р5Т2(9) = Аб.
Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп РЗЬ2{ц) и РОЬ2(д), где д нечетно.
Основные задачи диссертационной работы:
получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц;
получить точные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р5Х2(<7) и Р(7Р2(?) при начальных значениях д.
Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп,

1.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп где д нечетно
Далее рассматриваются только целочисленные групповые кольца. Сохраним обозначения и подходы из раздела 1.1.2.
Будем считать, что центр целочисленного группового кольца вложен есте-
ственным образом в центр ,2Г(С(7) комплексной групповой алгебры. В частности, можно разлагать элементы Е{7лС) по базису из минимальных центральных идемпо-теитов Е{<Э).
1.2.1 Классовые кольца характеров Обозначение. Для неприводимого характера х группы (7 положим
2М>х] = {-уг: X] I 7(®) е г Уж 6 х( Ь Л -гбХ(С) !
Это множество является подкольцом (см. п. 3 следующей леммы).
Определение 1. Кольцо 7с1,х назовем классовым кольцом характера х-
Лемма 6 ([3], лемма 2). Пусть х ~ произвольный неприводимый комплексный характер группы О, и — 51) 7и(х)у{р;) = Р Ри(х)е(х) ~~ произвольный элемент
х<=Х(0) х€1гг((?)
из Е(ЪС). Пусть также задано отобраоюение
<Рх(и) = Рп(х)-Тогда выполняются следующие утверждения.
1) Отображение (рх: —¥ С является гомоморфизмом кольца Е(7,С) в поле
комплексных чисел С.
2) Образ Iрх совпадает с Z[d,x]
3) 2[с1,х] ~~ подкольцо кольца целых 1(СЗ(х)) поля характера X-
Замечание 3. Из построения Z[d, х] следует, что это кольцо порождается, как абелева группа по сложению, числами
{гЬ*«4
а это в точности строки матрицы 5(<7) из леммы 1.
Предложение 8.
Пусть Z[с1, х] ~~ классовое кольцо характера % Тогда выполняются следующие утверждения.