Базисы Гребнера-Ширшова аффинных нескрученных алгебр Каца-Муди

• Автор: Порошенко, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение.

1 Предварительные сведения и результаты

2 Описание алгоритма

§2.1 Поиск базиса Гребнера—Ширшова для алгебры д+(Хп^)

§2.2 От д+(Х^) к д(Х%])

3 Построение базисов Гребнера — Ширшова

§3.1 Базис Гребнера— Ширшова алгебры д+(А^)

§3.1.1 Случай п =

§3.1.2 Случай п ^

§3.1.3 Случаи п = 2 и п =

§3.2 Базис Гребнера— Ширшова алгебры ^(В^1')
§3.3 Базис Гребнера — Ширшова алгебры д+(Сп5)
§3.4 Базис Гребнера— Ширшова алгебры д+(В^)
Литература.
Работы автора по теме диссертации.

Введение.
Историю базисов Гребнера и Гребнера — Ширшова можно раделить на две части: предысторию и, собственно, историю. К предыстории относятся такие широко известные методы, как алгоритм Евклида, метод Гаусса решения систем линейных уравнений, а также работы Гильберта, Гордона, Херманн, Маколея, Гребнера и некоторых других авторов.
Сама история начинается в 60-х годах XX столетия. А. И. Ширшов в 1962 г. в [8] ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле неявно это было сделано даже раньше, в 1958 году в [9]), а Б. Бухбергер в 1965 г. в [21] — аналогичное понятие для коммутативных многочленов (понятие 5-многочленов). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминология была введена Л. А. Бокутем в [2]) или А-многочленов. Фактически, замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Бухбергер назвал базисами Гребнера [22]. В последнее время для алгебр Ли и ассоциативных алгебр эти множества стали называть базисами Гребнера — Ширшова.
Этот метод нашел применение сразу же после появления работы
А. И. Ширшова [8]. Первые применения были сделаны в этой же работе, а именно, была решена проблема равенства и доказана теорема о свободе для алгебр Ли с одним определяющим соотношением. Им же в [10] с помощью метода базисов Гребнера — Ширшова была опровергнута гипотеза о строении подалгебр свободного произведения алгебр Ли.
Первый пример множества лиевских полиномов, не являющегося замкнутым относительно композиции, появился в работе Л. А.Бокутя [1]. Там было

построено замыкание относительно композиции некоторого множества лиевских соотношений, то есть базис Гребнера — Ширшова идеала, порожденного исходным множеством и с помощью этого доказано, что любая алгебра Ли вложима в алгебраическую алгебру Ли.
В настоящее время базисы Гребнера и Гребнера — Ширшова активно используются как в теоретических исследованиях, так и в вычислительной алгебре. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что с его помощью можно алгоритмизировать процесс поиска ответов на большое число вопросов (см., например, в [23]). Как следствие, становится возможным применение вычислительной техники для их решения. Например, пусть ГнеДХ) — свободная алгебра, со множеством порождающих X над полем к и S - некоторое множество лиевских полиномов, a Id(S) — идеал, порожденный S. Если базис Гребнера — Ширшова алгебры Liejt(X|S) = Lie|I(_X')//d(S) рекурсивен, то вопрос о принадлежности произвольного лиевского полинома идеалу решается алгоритмически. Также из наличия рекурсивного базиса Гребнера — Ширшова алгебры следует, что для этой алгебры существует и рекурсивный линейный базис. Последнее утверждение является непосредственным следствием так называемой леммы о композиции — Diamond леммы (сокращенно CD-лемма, это название было предложено в [14]), которая в общем случае (для коммутативных, некоммутативных и лиевых многочленов) формулируется так:
CD-лемма. Пусть S — множество нормированных полиномов. Тогда S базис Гребнера — Ширшова (т.е. замкнуто относительно композиции), тогда и только тогда, когда множество так называемых S -редуцированных слов образует линейный базис соответствующей алгебры.
Впервые утверждение, названное впоследствии Diamond леммой, появилось в работе Ньюмена [29]. Линейный вариант Diamond леммы Ньюмена приведен, в частности, в известной работе Дж. Бергмана [11].
CD-лемма в свою очередь является следствием следующего утверждения:
Лемма о композиции [8]- Теорема Бухбергера [21]. Если множество S замкнуто относительно композиции (S-многочленов), и / €Е /d(S), то / = asb для некоторого s G S. Верно и обратное.
З'п,—і"^п,—(î+i) — 9^ і G 0,72 3;
9- ^71,1*^71,1 *^71,—0 = О/
10. (Хуг,—гЗ'тг—l,i+l)*^n—1 4" 2 *^ті,—(7г— 1)*^тг—1 ~= 0> 2 € 0^72 З/
11. (хп-іХп-i,j)xn„i = 0, і Є 0, п - 3, j Є 2, п - 1, j > і +
иди г, j Є 1, п — 3, г ^ j;
12. (^n,-Äi-i,ü)#7i-i = 0, z G 0, ?2 З/
13. (я?п,—<^n-l,t+l)^n,—(*+1) “ (*^п,—(г+1)^тг—1,г+з)^п,—(г+2) = 0, 7 Є 0, 72 — 4,
14. (^тг,—(тг—3) *^7г—1,7г—2)^72,-(7г—2) дЯ'П,—(тг—2)Я'тг,—(тг—!1) == О/
15. = О, І G О, 72 З/
16. (д^гг.,—іХп—1,г+2)Я'гг,—(г+2) = О, І G О, ТІ 4/
17. (xn _iXn-i,j)xn,_(i+i) == 0, і G 0,72 - 4, j Є 3,п - 1, j ^ і Н- 3;
18. (^тг.?_(и.—2)*^тг—1,г)(*^n—І^тг—2) — О, І G 0> 72 2/
19. {хп^—іХп— ід)хП}_(г+1) = 9, 7, ^ G 0, 72 З, І ^ J/
20. (з^гг,—і^тг— 1 ,гЧ-2)(^тг,—г^тг— 1,й-і) (^тг,—і%п—1,г+2)(Я'тг,— (г+І^тг—1,7+2) = 9,
7 G 0, 72 — 3;
21. {хп—іХп—і^+^(хп—іХп—^ — 0} і G 0} ті 4, j Є 2, п 2, jі Н- 2;
22. (хїг>_(т1_2)Хгг_ід)хи_і^тг— і == 0, і G 0,77 2;
23. (хТІ)_(гг,_з)Жп_і) ( (^п?_(п_2)Л^7г_і?п_2)хп_і) 4“ 4;£^_(n_i) ° Æn_ 1 = 9/
24. (з^тг,—4*^71,—1,г+2) ((*^тг,—і^-тг—1,г+^З'п,—(г-Н)) = 9, І G 0, 72 З/
25. ((я?7г,1 О (^7і,—0*^71—1,1 )^>)‘^тг,—о)^'7г)0 О д )^^" )хГІ)_о — О,
26. (хп,-(п_2)(а^ _(їг_1} о xn_i))xn ,->-1) = 0, р ^ 1;
27. (хпд о (^тг,—0*^7г—1(і)^)^тг,—0*^7г,—0 = 9, р ^ О/
28. Xn>_(n_2) (xn О (xn?_(n_2) (хп— Хп—2))) =: 0, р ^ О/