Арифметические приложения теории гипергеометрических рядов

• Автор: Пупырев, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

Содержание
Введение
0.1. Гипергеометрический ряд
0.2. Предварительные сведения
0.3. Результаты
Глава 1. Эффективизация нижней оценки для ||(4/3)^|
1.1. Аппроксимации Паде
1.2. Аналитические и арифметические оценки
1.3. Доказательство теоремы
1.4. Доказательство теоремы
Глава 2. Рациональные приближения числа /
2.1. Аппроксимации Паде
2.2. Арифметические составляющие
2.3. Доказательство теоремы
Глава 3. Линейная и алгебраическая независимость д-дзета- значений
3.1. Вспомогательные утверждения
3.2. Основные результаты
Литература

Введение
В диссертации с помощью приближений Паде гипергеометрических функций получены арифметические результаты в области теории чисел.
В 1873 году Эрмит построил совместные приближения функций ег, ..., етг рациональными функциями. То есть, он нашел в явном виде многочлены ■ ■ ■ ,Сдт(2) такие, что кратности нуля в точке
г = 0 функций С^о(г)екг — С2к{%) будут максимально возможными в зависимости от степеней многочленов <3ы Значения этих многочленов в точке 2 = 1 использовались Эрмитом для построения совместных приближений к е,е2, ...,ет рациональными числами, что позволило ему доказать трансцендентность е.
Пусть ах,, ат - различные комплексные числа, щ, щ,..., пт -неотрицательные целые числа, и определим
/(ж) = хП0(х - ах)”1 • ■ • (ж - ат)Пт. з

ВВЕДЕНИЕ

Полагая М = щ + щ ----------+ пт, получим
Яо(г)еа^ - р*(г) = г-

/ (0.1)

где с^<2*0г) < М ~Пк. При подстановке г = 1 в (0.1), мы получим равенство, которое Эрмит использовал для доказательства трансцендентности е, а Линдеман в 1882 году для доказательства трансцендентное'!’и 7Г.
Таким образом, конструкция совместных приближений еакх рациональными функциями С2к(2)/С2о(г) позволила построить совместные приближения чисел еак рациональными числами ф*(1)/<2о(1)-
Подобная конструкция существует и для гипергеометрической функции. Рассмотрим следующий ряд, называемый Гауссовой гипергеометрической функцией:
где а, Ъ. с € С и с ф 0, —1, —2,.. .; здесь (а0) = 1 и (■а)„ = а(а + 1) • • • (а+н —1). Если о или Ь принадлежат множеству {0, —1, —2,... }, то Г (г) - многочлен; в противном случае это ряд с радиусом сходимости, равным 1.
Гаусс нашел следующее разложение в цепную дробь:
(а)„(Ь)у
Г(а, Ь + 1,с+1;г)
Г(а, Ь, с; г)
(0.2)
где комплексные числа
аък+г
(а -Г к) (с — Ь + к)

(Ь + к) (с — а + к)
(с + 2к) (с + 2к + 1) ’
(с + 2 к — 1)(с + 2/с)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЧИСЛА +

(В + 1/3) ■ ■ ■ (В — А — 2 + р. + 1 + 1/3)

-(-і)
(А + 1-мУ-
, (2п + А — 1) ■ • ■ (2п + А — п)
п(А + 1)
х{В + 1/3) ■ ■ ■ (В - А - I + 1 + 1/3)(-1)г
п(п — В + А — 1 — 1/3) • • • (п — В + А — ц — 1/3)

= (-і)
^_0 (п — /х)!/(і!(2п + А — 1) • ■ ■ (2п + А — /х)
(А + /)••• (А + і — // + 1)
Х (В - А - / + ц + 1/3) ■•■(В — А —1 + 1 + 1/3)
, (2п + А — 1) ■ ■ • (2п + А — п)
п(А + 1)
х{В + 1/3) ■■■(В-А-1 + 1 + 1/3)(-1)г
(—п)ц(—п + В — А + 1 + 1/3)|Ц(—Л — £)м ^■(—2п — А + 1)^[В — А — ? + 1 + 1/3)^

_ г .П(2г?, + А-1)--(2п + А-п)
1 ; п!(А + /)!
х (5 + 1/3) ■■■(В-А-1 + 1 + 1/3)(-1)г
п, -А-Л, -П + Б-А +1 + 1/
X ч/^о
' —2п — Л + 1, £? — А — £ + 1 + 1/

Применяя формулу суммирования Пфаффа-Заалыцютца (0.6)
—п, а, Ь _с, 1 + а + Ь — с — гг
1 , (с - а)п(с - £>)г
(с)п(с -а-Ъ)п