О свободных (конформных) алгебрах Ли

• Автор: Чибриков, Евгений Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 89 с.

1 Правонормированный базис свободной
алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова
1.1 Основные определения и результаты
1.2 Отображение, перерабатывающее базисные
правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова
1.3 Правонормированный базис свободной алгебры Ли
1.4 Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова
2 Правонормированный базис свободной
супералгебры Ли
2.1 Основные определения
2.2 Отображение, перерабатывающее слова множества в слова
множества Б'х
2.3 Формулировка и доказательство основной теоремы
3 О свободных конформных алгебрах Ли
3.1 Лемма о композиции для модулей
3.2 Конформные и вертексные алгебры
3.3 Порождающие свободной конформной алгебры Ли

Список литературы
Работы автора по теме диссертации
Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [30] в 1950г. История возникновения этого базиса восходит к работам Ф.Холла [31] (1933), В.Магнуса [37] (1937) и Е.Витта [42] (1937)(см. об этом, например, в книгах В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер [9] и Н.Бурбаки [6]). В диссертации А.И.Ширшова [13] (1953, опубликовано в [15], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [41] (см. также книгу Х.Рейтенауера [39]). Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [14] и Р.Линдоном [28], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления ^ ■ книги М.Лотера [35], эти слова назывались правильными (ассоциативными и
неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [7], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [35] эти слова названы словами Линдона, так же они называются и в книге Х.Рейтенауера [39]. Мы будем называть их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [18].
А.И.Ширшов в работе [16] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Д.А.Бокутем [2] (1962), который построил базы свободной алгебры Ли Ь, совместимые с рядами степеней этой алгебры:
ЬЭ ЬП1 Э (Ьп')п2 Э ...(... (І/11)"2)..Э . ..,
где Пі > 2, і > 1. В частности, при щ = 2, г > 1, получаем базу свободной алгебры А Ли, совместимую с производным рядом. Начальные куски этой базы дают базы

свободных разрешимых алгебр Ли, переоткрытые позднее Х.Рейтенауером [38] (см. также его книгу [39]).
Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [10] и А.С.Штерн [12] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов неассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [17]).
Г.П.Кукин [8] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена левонормированной базе, но в этой части имеются ошибки. Укажем их в явном виде.
Будем следовать обозначениям работы [8]. Правонормированные слова строятся в примере 3 работы [8], там же приведено доказательство. Возьмем X = {ад, х2}, где ад > х2. Тогда С0 = {гі,і2}; Р = {ад}, А = {х2} и Сх(1) = {од, ада$ | г = 0,1,
Следовательно, Р12 = {хі£2}, Аі2 = {ад}; Різ = {адх2}, А13 = {яд, адх2}. Откуда мы получаем, что С2(1,2) = {(хіх2)х г = 0,1,...}, С2(1,3) = {(ада^ад, •••}. Из С2(1,2) мы получим, что Р122 = {(ада:2)ад}, Лі22 = {адх2}. Поэтому С3(1,2,2) = {(хіх2)хі(х1х2)г | і = 0,1,...} (все слова ассоциативные). Здесь мы выписали только те множества Ск(ті тк), из которых нам потребуется выбрать некоторые элементы. Построение множеств Ск(ти. ..,тк) описано в [8], отметим только, что на каждом новом шаге этого построения длина слов увеличивается. Множества Со, Сі(1), С2(1,2), С2(1,3), С3(1,2,2) содержатся в множестве ассоциативных слов Р. На всех словах из Р скобки расставляются левонормированным образом [... [[{гдад^аДз]...], полученное множество обозначается через Р. В [8] утверждается, что множество Р является базисом свободной алгебры Ли. При доказательстве линейной независимости автор пишет: "Запишем элемент / Є Р в алгебре 11Ь[ха. Очевидно, в его запись входит ровно один элемент из Р - это / с коэффициентом 1."

старшей быквы а слова ш для всех 0 < у < 6 + 1. Тогда, если ид = т'8и>", то справедливо сравнение
[ад] = [ги(+1{аги[}ги"{аи;[_1}ги"_1... {аш^Шо] {тойлю).
Доказательство. Доказывать лемму будем индукцией по £. Пусть = Ъ.. .Ък для некоторых 61,62, • • • ,Ьк 6 X. Тогда, используя тождество (17), мы можем записать, что
[ад] = [ид+1а&1 ... Ъкю"щ-т] = ±[ад4+1б1а62 .. • б^ад^Л + [адт[а&1]б2... Ьк'ш"й]Ь-\ = [и)(+1[а61]62 ... 6*,ш"гй(_1] = ±[ги(+1б2[аб1]63 ... б^идад^] +
[ад4+1{а6г62}6з ... 6*ад"ад4_1] {тойад), где ад4_1 = ашг_1а... аад0. Поскольку
[ги(+1б2[аб^бз ... Ькт"щ^] = ±[ад4+1б2а6163 ... Ькт"щ^ ±
[ги(+162б1о63 ... Ькю"щ~1] = 0 (тойш),

[ад] г [ад(+1 {«6162)63 .. . 6*,ад"ад4_!] {тойш).
Продолжая аналогичные действия, мы получим следующее сравнение
[ад] = [ад4+1{аш[}ад"ад4_1] (тойш).
Из индукционного предположения следует, что
[адц] = [{аад[_1}ад"_1{аад;_2}ад['_2 --{(гЧ}Ч'] {тойщ-1).
Это означает, что
[ад4_г] = [{оад[_1}ад"_1{аад;_2}ад"_2---{аадо}адо'] +5^аЛ^]-