Слабопервичные алгебры конечного типа

• Автор: Никулин, Александр Вильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 149 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ I. Конечномерные алгебры и их представления

§ 2. Представления частично упорядоченных множеств

Глава II. СЛАБОПЕРВИЧНЫЕ АЛГЕБШ КОНЕЧНОГО ТИПА С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ГЛАВНЫХ МОДУЛЕЙ

§ 3. Отроение допустимых колчанов с петлями

§ 4. Описание соотношений в допустимых колчанах с петлями

§ 5. Соотношения в колчанах-1 ■ Ц УП - ХХП

§ 6. Строение допустимых колчанов без петель

Глава III. СТРОЕНИЕ СЛАБОПЕРВИЧНЫХ АЛГЕБР КОНЕЧНОГО ТИПА. 114 § 7. Слабопервичные алгебры конечного типа с глубоким
радикалом

§ 8. Приведение матриц. Доказательство основной теоремы

ЛИТЕРАТУРА

Конечномерная алгебра А над полем К называется алгеброй конечного типа, если она имеет конечное число попарно неизоморфных неразложимых представлений.
Изучению алгебр конечного типа посвящены многочисленные работы как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, [4, 5, 9, 13-15, 17-22, 25, 26J).
Важную роль в теории представлений, а также в структурной теории колец, алгебр и модулей играет понятие колчана, введенное Габриелем [22] в связи с задачей описания алгебр конечного типа, квадрат радикала которых равен нулю. Оказалось (см. 3 стр.64-65), что всякую конечномерную алгебру / над алгебраически замкнутым полем К можно рассматривать о точностью до эквивалентности в смысле Мориты как факторалгебру алгебры путей W) колчана 0= О (Л) алгебры А п° некоторому идеалу У <= К!сд, I.e. A z tc(Q)/7 Такая алгебра /1 обладает следующим свойством: Ntt изоморфна прямому произведению полей к и - радикал алгебры /1 ). Алгебры, обладающие этим свойством называются приведенными. Всякая конечномерная алгебра эквивалентна в смысле Мориты приведенной алгебре. Поэтому описание алгебр конечного типа сводится к описанию приведенных алгебр конечного типа.
Параллельно А.В.Ройтером, I.А.Назаровой, Ю.А.Дроздом и их учениками [l, 2, 7, 8, 10, 28 J была развита теория матричных задач.
Л.А.Назаровой и А.В.Ройтером [ю] было введено понятие представления частично упорядоченного множества. Используя результаты работы [ю] , а также критерий конечности типа [?] частично упорядоченных множеств, С.А.Кругляк [э] независимо описал алгебры конечного типа, квадрат радикала которых равен нулю.

А.Г.Завадский, А.С.Шкараба и независимо Лупиас [26] получили все коммутативные колчаны конечного типа (т.е. фактически все подалгебры конечного типа, лежащие в алгебре матриц Мп. (к), с базисом из матричных единиц.
Оказалось, что задача описания представлений алгебры сводится к задаче приведения некоторого набора матриц определенными допустимыми преобразованиями. В работах [8, 28J формализован широкий класс матричных задач, включающий в себя задачи, соответствующие представлениям алгебр, на языке представлений дифференциально градуированных категорий.
В последние годы существенное развитие теории представлений алгебр произошло благодаря разработке Габриелем и Ридман [23, 27J методов теории накрытий колчанов Ауслендера-Райтен. Используя эту технику, в [20J был получен список всех приведенных алгебр конечного типа над алгебраически замкнутым полем, колчаны которых состоят из двух точек.
Важное значение при описании приведенных алгебр конечного типа нал алгебраически замкнутым полем играют также результаты работ [15, I7J. Во всех имеющихся примерах алгебр конечного типа соотношения между базисными элементами можно было выбрать естественным образом*/. Этот факт был установлен в [l5, 17 J в случае алгебраически замкнутого поля. Из [l5,IVj также следует, что если характеристика поля в этом случае не равна двум, то всякая алгебра конечного типа стандартна.
Бонгартц [l8 J указал алгоритм, позволяющий по заданной стандартной алгебре над алгебраически замкнутым полем, определить
ж/ Более точно, это соотношения типа X = О , * =<7 , где X ,4,
пути колчана алгебры. «

Пусть Х^ХцХ^/ФО * Рассмотрим представление X ;
После приведения матриц ? остальные матрицы образуют представление ШУМ Т) = ((^)‘(^ Ъ)). Итак, Х/2 ХК1 Х/г~0
Аналогично Хц Х/х Ух/~0* При 8- X необходимо рассмотреть
алгебру еЛв , где €= ^ ( п?, 6) и провести предыдущие рассуждения. Итак, при 8£п-х У э У У/О , Если 8=п-1 или Х/хХ/~ • • • = Хп-1п Хпп-1 - О i перенумеруем точки
1>---, уь-4. , в обратном порядке. Проводя аналогичные рассуждения, мы получаем, что У ^ УУШ УХ (п=/с+^Х.
Мы показали, что при XIЪ 6 У р У¥Ш или У’>УХ_(п=К+1) 6) 0(Л) - (?/Х : ^—ъ.2=±* ... .<2=±л ( П7/ г,)
1 1 * /г.-
Рассмотрим алгебру вЛе $ где в= 1-вг . Очевидно, еЛе)
должен иметь ВИД ^ 2^; 5>. . . . —И (Х~ХпХ^У Пусть
Ъ I/ П-/ п.
существует В=д;...,п-Ц такой, что Ф=0 • Из
п.5) немедленно следует, что
Х/^Хц Хм = Хз/Х/^Хлз = ••• = Х$./5 =
= Уя+2,8+1 = ■ ■ - — Хк-/п Хъп-1 - *43 *34 = ■ •
= Ууыг-1 Хп-1 +ь = О, Х8$+1 Х^+ /$ - • ‘' У~31УгЛз "'^8-1$
Положив С. - £-(?! , мы получаем также Х^ъ Х31*а-Р * т#е*