Алгебраическая характеризация классов непрерывных и интегрируемых функций

• Автор: Серединский, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

1 Введение

1 Некоторые алгебраические характеризации семейства непрерывных функций

1.1 с-Кольцевая характеризация семейства непрерывных функций

1.1.1 Предварительные сведения

1.1.2 Необходимые характеристические кольцевые свойства семейства

С (К). Понятие с-кольца

1.1.3 Наделение с-кольца структурой Е-алгебры

1.1.4 Введение структуры нормированной упорядоченной Е-алгебры

1.1.5 Описание факторов с-кольца по максимальным идеалам

1.1.6 Реализация с-кольца в виде кольца вещественно-значных функций

1.1.7 Реализация с-кольца в виде кольца непрерывных вещественнозначных функций

1.1.8 Случай комплексно-значных функций
1.1.9 Случай функций со значением в кватернионах
1.1.10 Доказательство эквивалентности условий
1.2 Характеризация семейства непрерывных функций в терминах
коммутативных ?-групп
1.2.1 Коммутативные 1-групны и с?-группы
1.2.2 Необходимые характеристические свойства семейства непрерывных
функций на компактном пространстве
1.2.3 Наделение с/-группы структурой линейного решёточного
пространства над полем Е
1.2.4 Введение структуры нормированного решёточного пространства
1.2.5 Реализация с/-группы в виде с/-группы непрерывных вещественнозначных функций
2 Описание расширения Римана с^-группы непрерывных функций
2.1 Коммутативные /г-группы и с?г-группы
2.1.1 с/-Групповые фактор-пространства

2.1.2 Коммутативные /г-группы и /г-расширения
2.1.3 с/г-Группы и с/г-расширения
2.1.4 Элементарные типы полноты. Понятие регулярного пополнения
2.1.5 Функционально-факторные с/г-грунны
2.1.0 Функционально-факторные с/г-расширения, порождаемые равномерными функциями
2.2 Функциональное описание расширения Рішана
2.2.1 Основные понятия
2.2.2 Описание функций, ц-интегрируемых но Рішану
2.3 Расширение Рішана и сечения в С
2.3.1 с1г,г Расширения
2.3.2 Предварительные леммы
2.3.3 Теорема граничности
2.3.4 Теорема полноты
2.3.5 Теорема регулярности
2.3.6 Расширение Рішана как регулярное пополнение. Теорема единственности

1 Введение.
Данная диссертация посвящена исследованию колец и решёточно-упорядоченных групп непрерывных функции и функций, интегрируемых по Рнману. Главной целью работы является чисто алгебраическая характеризация семейства непрерывных функций па компактном пространстве и его классического расширения, составленного из функций, интегрируемых по Риману. Результаты работы относятся к теории функциональных алгебраических систем, то есть к той части алгебры, которая изучает алгебраические системы функций, возникающие в разных разделах математики, таких, как теория функций, математический анализ, топология, теория меры и другие.
Истоки этой теории восходят к знаменитой теореме Вейерштрасса о плотности подалгебры многочленов в алгебре непрерывных функций на отрезке (см., например, [I]1, Гл. 7, 7.24 и [2]2, IV, §5). Основополагающие результаты в этой теории были получены М. Стоуном (см., например, [З]3, II, §7 и [4]4, Введение, 2), И.М. Гельфандом ([5]s , III, §11), Какутани ([б]6), М.Г. Крейном и С.Г. Крейном ([7]7). Алгебраическим системам непрерывных функций были посвящены монографии ([8]8) и ([9]9). Различные классические расширения кольца и банаховой алгебры непрерывных функций были
1 Рудин У. Основы математического анализа - М.: Мир, 1966.
2 Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной - М.: Наука, 1974.
3 Hewitt E., Stromberg К. Real and Abstract Analysis - Berlin: Springer-Verlag, 1975.
4 Иосида К. Функциональный анализ - М.: Мир, 1967.
5 Наймарк М.А. Нормированные кольца - М.: Наука, 1968.
6 Kakutani S. Concrete representation of abstract (M)-spaces // Ann. of Math., 1941. V.42. P. 994-1024.
7 Крейн М.Г., Крейн С.Г. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывгшх
функций, определенных на хаусдорфовом бикомпактном множестве // Доклады Академии Наук СССР, 1940. Т.27. С. 427-431.
8 L. Gillman, М. Jerison Rings of continuous functions. - New-York: D. Van Nostrand Company, Inc., 1960.
9 Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions // Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1971.
p0(a) = po(a'), p0{b) = Po{b'), p0(c) = p0(cJ) и p0{d) = p0(d'). Так, как pa является изоморфизмом колец, то а = а', b = Ь', с = б/ и <1 = с/'. Откуда а + lb + Jc + Kd = а' + /&' + Jd + ЛГФ.
Пусть / : МахАо —> Q — некоторая непрерывная кватернионо-значная функция. Тогда с помощью записи с действительными коэффициентами функция / представима в виде / = g + i- h+ j- x + k- y, где д,1г,х,у некоторые вещественно-значные функции. В силу того, что для любого х = а + ib + jc + kd 6 Q,a,b,c,d € R выполняется неравенство |а|, |6|, |с|, d < ||з;|| = /а2 + Ь2 + с2 + d2, вещественно-значные функции д, h, х, у являются непрерывными. Положим p~l{f) = р^1 {д)+1 p$l (li) + J р^1 (х) + К Pq1 (у). Итак, р : А —э С(МахАо, Q) — изоморфизм. □
Теперь покажем, что и обратное утверждение теоремы выполняется для произвольного кольца С {К, Q) = А всех непрерывных кватернионо-значных функций на компактном пространстве К. Рассмотрим постоянные функции I(z) = i,3{z) — j,K(z) = к. Функции I, J, К удовлетворяют свойству а).
• Очевидно, любая / € С(К, Q) представима единственным образом в виде f(z) = g(z) +
I(z)-h+J(z)-x+K.(z)-y, где д, h,x,y € С (К, К). Это означает выполнение свойства б), где роль подкольца Ао играет подкольцо всех непрерывных вещественно-значных функций на компактном пространстве К. Подкольцо Ао = С (К, R) обладает свойствами 1) - 6) (см. [5]). Откуда кольцо C(K,Q) всех непрерывных кватернионо-значных функций на компактном пространстве К обладает свойствами а) - в). Таким образом, утверждение теоремы 1.1.4 доказано в обе стороны.
1.1.10 Доказательство эквивалентности условий.
Нижеследующее предложение показывает, что условия Дельфосса для с-кольца (см. введение) и модифицированные условия, используемые при доказательствах, эквивалентны.
Предложение. В кольце А с единицей 1 свойства 1)-6) эквивалентны свойствам 1)-3), 4')-6').
Доказательство. Пусть кольцо А обладает свойством 4) и пусть существует некоторая последовательность (&'* S Ak € N) такая, что к2(а2 +b'2k) = 1. Тогда для любого I € N, I >