Алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-Р-группами

• Автор: Афанасьева, Светлана Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 39 с.

Оглавление
Введение
1 Уравнения и алгебраическая геометрия над проконечными группами
1.1 Некоторые сведения о проконсчных группах
1.2 Уравнения над проконечной группой
1.3 Нётеровость но уравнениям
1.4 Примеры иро-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям
1.5 Координатные группы неприводимых алгебраических множеств,
универсальные теории и дискримшшруемость
2 Жёсткие метабелевы про-р-группы
2.1 Вспомогательные определения и факты
2.2 Универсальная эквивалентность жестких метабелсвых про-р-групп' . . .
2.3 Копроизведение жёстких метабелевых про-р-групп
2.4 Координатная группа аффинного пространства над жёсткой метабелевой
про-р-группой
Заключение
Литература

Введение
Актуальность и степень разработанности темы исследования
Алгебраическая геометрия — раздел математики, объединяющий абстрактную алгебру с геометрией. Главный предмет изучения алгебраической геометрии — алгебраические многообразия, т.е. множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами. Классическая алгебраическая геометрия изучает решения систем алгебраических уравнений над полем. Сначала решения систем алгебраических уравнений рассматривались над полем комплексных чисел, затем был переход к алгебраически замкнутому и произвольному полю. Лишь сравнительно недавно были сформулированы основные понятия и доказаны базисные факты в алгебраической геометрии над группами и другими алгебраическими системами. Универсальная алгебраическая геометрия (по-другому её называют алгебраической геометрией над алгебраическими системами) — это новое направление исследований, которое в последние годы активно развивается.
Основы алгебраической геометрии над группами разработаны в двух фундаментальных статьях Г. Баумслага, А.Г. Мясннкова, В.Н. Ремесленникова [25] и А.Г. Мясннкова, В.Н. Ремесленникова [33]. Э.Ю. Даниярова, А.Г. Мясников и
В.Н. Ремесленников в работах [5-8, 27, 28] развивают алгебраическую геометрию над произвольной алгебраической системой и доказывают объединяющие теоремы.
А.Г. Мясников, O.P. Харлампович [29-32] и 3. Села [37,38] развили и успешно применили алгебраическую геометрию над свободными группами при решении известных проблем Тарского о свободных группах.
Другим важным классом групп, где удалось построить хорошую алгебраическую геометрию, является класс жёстких разрешимых групп. Он был определен и изучался в работах Н.С. Романовского [20-23,36] и А.Г. Мясннкова, Н.С. Романовского [16,34]. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы, итерированные сплетения абелевых групп без кручения, а также их подгруппы.
Приведём основные понятия алгебраической геометрии над группами.
Для данной группы G всякую группу, содержащую G в качестве фиксированной подгруппы, называют G-группой. Естественным образом для G-групп определяется

понятие С-подгруппы, Ц-гомоморфизма и т.п. В качестве уравнений от набора переменных х = (х.,... ,.т„) над С можно брать выражения вида у(х) = 1, где у(х) — элемент группы уравнений F, которая представляет из себя свободное произведение группы С и свободной группы с базой X = {х,...,хп}. Иногда удобнее уравнениями называть сами элементы группы Р. Решением уравнения у(х) называется набор (,9х,..., дп) € С" такой, что у{д,..., дп) = 1 в группе б. Подмножество 5 из Сп называется алгебраическим, если оно является множеством решений некоторой системы уравнений. Фактор-группа ^/(5), где 7(5) = {у{х) 6 F | Цй) = 1,8 6 5} — апнулятор С, называется координатной группой алгебраического множества Б и обозначается через Г(5).
В диссертации рассматривается алгебраическая геометрия над проконечными группами. В этом случае эти определения переносятся не буквально, так как паши объекты топологические.
Цели и задачи
Главная цель диссертации — перенести основные понятия алгебраической геометрии на случай проконечных групп и исследовать алгебраическую геометрию над жёсткими метабелевыми про-р-группами.
Основные результаты диссертации
1. Найдено представление координатной группы проконечной группы в виде проективного предела координатных групп её конечных гомоморфных образов. (Теорема 1.1)
2. Введено понятие стандартной линейной про-р-группы и доказано, что такая группа всегда нётсрова по уравнениям. Как следствие получено, что свободные нильпотентные про-р-группы и свободные метабелевы про-р-группы нётеровы по уравнениям. (Теорема 1.4 и следствие 1.1)
3. Построены два примера про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям: первая из этих групп является нильпотентной (не конечно порождённой), а вторая — центрально метабелевой с четырьмя порождающими.
4. Введены понятия универсальной формулы и универсальной теории над проконечной группой. Доказано (совместно с Н.С. Романовским), что все жёсткие 2-ступенно разрешимые про-р-группы универсально эквивалентны между собой. (Теорема 2.1)

Заключение
В диссертации были определены основные понятия и доказаны некоторые принципиальные факты, относящиеся к алгебраической геометрии над проконечными группами.
Обоснован переход от построения алгебраической геометрии над произвольной ироконечной группой к рассмотрению случая про-р- группы.
Изучаястся алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-р-групиами. Для конечно порождённой 2-ступенно разрешимой 2-градуированной жёсткой про-р-групиы С найдена координатная группа аффинного пространства Сп и доказано, что пространство С неприводимо в топологии Зарисского.
В дальнейшем представляется интересным перенесения понятия жёсткой группы на случай разрешимых про-р-групп большей ступени разрешимости. Как выше отмечалось остается открытым вопрос: будет ли про-р-группа, универсально эквивалентная жёсткой 2-ступенно разрешимой про-р-гругше, сама являться жёсткой?