Проблема Эстермана с почти равными слагаемыми

• Автор: Шокамолова, Джилва Абдулназаровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами

1.1 Известные леммы

1.2 Теорема о поведении коротких линейных тригонометрических

сумм с простыми числами

2 Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля

2.1 Вспомогательные леммы

2.2 Оценка коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля

3 Асимтотическая формула в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми

3.1 Вспомогательные утверждения
3.2 Основная теорема
Литература

Обозначения
е(а) = е2ша = cos 2па + г sin 2л а.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер
главы, номер параграфа, номер утверждения.
с, Ci, С2, ■ • ■ ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же.
£-положительные сколь угодно малые постоянные.
L = In N - натуральный логарифм N.
т(п) - число делителей числа п.
х(п) - характер Дирихле по модулю q.
Л(п) - функция Мангольта.
L(s,x) ~ функция Дирихле по характеру х-д(п) - Функция Мёбиуса.
[ж] - целая часть числа х.
{ж} - дробная часть числа х.
(а, Ъ) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Запись А «С В или А = О (В) означает, что существует с > 0 такое, что

N(a,T, х) ~ число нулей L(s,x) в области Res > а > 0, 5, 0 < Im,s < Т.
||ж|| = min - расстояние до ближайшего целого числа.
А < сВ.
сумма Гаусса.
Введение
Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм, в том числе сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и вывод асимптотической формулы для числа решений одного дпофантового уравнения с простыми числами.
И.М. Виноградов [1]-[12] в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виногра,-дова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы
Полученная оценка для в (а, х) в соединение с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N — /ц + р2 + рз, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.
Ю.В. Линник [13]-[18] с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда [19]—[20], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностных теоремах для нулей Ь -рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической
а — —1-А, |А| < —, 1 < о < т.

Теорема 2.1. Пусть т > 4у, у < т, а = & + А; (а,у) = 1, |А| < Тогда
при {2Л;г} < А > О или {2Аж} > 1 — щ, А < 0 имеет место соотношение
Т(а,х,у) = ^^Г(А;ж,у) + 0(д^21пд), (2.2 1)
а при выполнении условия {2Аж} > А > 0 или {2Аж} < 1 — — , А < О, имеет место соотношение
Т(а,х, у) = ~~х,у) + О(о1/21пу + ж1/2). (2.2.2)
Следствие 2.1.1. Пусть т > 4у; у < т, а = ^ + А ; (a, q) — 1, |А| < -j~ Тогда имеет место соотношение
Т(а, х, у) = ~5(а, q)j(А; ж, у) + 0(у1/21п у).
Следствие 2.1.2. Пусть т > 4у, q <т, а = ^ + А; (а, у) = 1, < |А| <
—. Тогда имеет место оценка

Т(а, ж, у) <С у1//21п у + ж1/2.
Следствие 2.1.1 является обобщением теоремы Р. Вона для коротких сумм и уточнением леммы 5 в работе [60].
Доказательство теоремы 2.1. Рассмотрим сначала случай А > 0. Имеем
Т{а х, у) — е(Ап2) ^2 е =
х—у<п<х *:=! Ч /
к—п(тподу)
= Е е(^)±е^)1±е(^) =
I ~У<П<Х к= 4 4 ' 4 6=1 4 4 '
= - А; ж, у) + Д, п= - ^2 ть(А; ж, у)Зь{а, у),