Абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал абелевой группы

• Автор: Компанцева, Екатерина Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Глава I. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ НЕРЕДУЦИРОВАННОЙ ГРУППЫ

§ I. Абсолютные радикалы прямой суммы и прямого

произведения групп

§ 2. Абсолютные радикалы нередуцированной группы

Глава II. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ КОПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

§ 3. Умножения на алгебраически компактной группе... 35 § 4. Подгруппы группы 6- , являющиеся ниль-идеалами

в любом кольце на б

§ 5. Абсолютные радикалы копериодической группы

Глава III. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ СМЕШАННОЙ ГРУППЫ

§ 6. Абсолютные радикалы смешанной группы, имеющей

делимую факторгруппу по периодической части.,
§ 7. Абсолютные радикалы группы из класса К
§ 8. Абсолютные радикалы группы ранга без кручения I
Глава IV. АБСОЛЮТНЫЕ РАДИКАЛЫ ВЕКТОРНОЙ СЕПАРАБЕЛЬНОЙ
И ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
§ 9. Определения и предварительные результаты
§ 10. Основные теоремы и следствия из них
ЛИТЕРАТУРА

В последние года в работах по теории абелевых групп все чаще встречаются исследования, основная цель которых - выяснить, как зависят свойства кольца от строения его аддитивной группы и, в частности, какую информацию может дать аддитивная группа кольца о его радикалах. В этой связи весьма существенным представляется для данной группы б ^ выделить такие ее подгруппы, которые содержатся в радикале (Джекобеона, верхнем ниль-радикале и т.д.) любого ассоциативного кольца, аддитивная группа которого совпадает с & , а также определить максимальную подгруппу среди всех таких подгрупп.
Диссертационная работа в целом посвящена изучению абсолютного радикала Джекобсона и абсолютного ниль-радикала групп. Под абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радика-лом) группы & понимается пересечение Я*( 6-) (соответственно N*(6) ) радикалов Джекобсона (соответственно верхних
ниль-радикалов) всех ассоциативных колец, построенных на & как на аддитивной группе.
Для определения кольцевой структуры на группе б- необходимо указать гомоморфизм у : б- ® & -» б- , который называется умножением на б . Группа б с заданным на ней умножением определяет некоторое кольцо (не обязательно ассоциативное), аддитивная группа которого совпадает с б , это кольцо называется кольцом на группе б
Все группы, рассматриваемые в работе, - абелевы, и слово группа здесь и везде в дальнейшем означает абелева группа.

Проблема определения колец на аддитивной группе была поставлена Быомонтом /22/, который рассматривал кольца на прямых сушах циклических групп. Приблизительно в то ке время Селе /48/ исследовал нильгруппы, т.е. группы, допускающие только нулевое умножение. Селе доказал, что периодическая группа является нильгруппой тогда и только тогда, когда она делима, и что не существует смешанных нильгрупп. Однако, если в классе периодических групп нильгруппы могут быть охарактеризованы явным образом, то в классе групп без кручения описание нильгрупп - весьма трудная проблема. Ей и Уиснер /45/ описали ‘вполне разложимые нильгруппы. Некоторые весьма частные классы нильгрупп без кручения рассмотрены Фуксом /18, 35/.
Селе /49/, обобщая понятие нильгруппы, ставит вопрос об ^изучении групп, на которых все кольца нильпотентны, и определяет ступень нильпотентности группы следующим образом. Пусть п - натуральное число, (? - группа; если существует ассоциативное кольцо и на группе & , для которого О
и для любого ассоциативного кольца IX на & имеет место равенство 111г'м= 0 , то говорят, что группа & имеет
студень нильпотентности п ; если числа П с указанным свойством не существует, то ступень нильпотентности группы С-равна °<> . Ри и Уиснер /45/ ввели понятие сильной ступени
нильпотентности группы £ , опусти в определении ступени -нильпотентности условие ассоциативности колец.
Селе /49/ полностью решил вопрос о ступени нильпотентности периодических групп: на периодической группе £ , не являющейся делимой, всегда существует ассоциативное кольцо, которое не является ниль-кольцом, и, следовательно, ступень

По определению чисел п <г и по предположению индукции в левой части последнего равенства все слагаемые кроме, может быть, (I - £^) делятся на р1 в 0 р • Поскольку 1-5^ является р -адической единицей, то £г <= рХ?р
Таким образом пересечение П хк не пусто,
В силу леммы 3.8 для множеств X к ( ке А/) выполняется условие а). Надо только заметить, что если
{.( ^ )}пгеМ - последовательность Коши элементов
из (ке|М) в топологии произведения на П Ор , то для каждого натурального I последовательность целых р -ади-ческих чисел { м является последовательностью
Коши, и предел последовательности { ( . - • )}гтгеН
в топологии произведения равен
Итак, для множеств X к (ке N) выполняются условия а) и б). Поэтому существует элемент £л,... )е П , удовлетворяющий условиям (I) и (П). Следовательно, элемент
л
4 =21 4:0-е А удовлетворяет уравнению (I), то есть
является квазиобратным элементом к а в кольце С А, х) ,
Значит, рА - квазирегулярный идеал кольца Г А,*) , откуда следует, что рА £ И(А,х) /2, § 6, теорема 2/. Из произвольности умножения х на А заключаем, что р А £ Л (А) . Лемма доказана.
Включение рАе Я* (А) неверно, если А - бесконечная прямая сумма циклических р -адических модулей, Имеет место следующее утверждение.
Предположение 3.11. Пуоть А - прямая сумма