Средние Рисса арифметических функций, распространенных на значения тернарной кубической формы

• Автор: Камарадинова Заррина Нусратуллоевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Производящая функция
1.1.Вспомогательные утверждения
1.2.Теорема о представление производящего ряда
2 Аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а
3 Среднее Рисса арифметических функций, распространенных
на значения тернарной кубической формы
3.1 Вспомогательные утверждения
3.2 Среднее Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы
3.3 Среднее Рисса функции суммы квадратов, распространенной на значения тернарной
кубической формы
Литература

Обозначения
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения;
е(а) — е2та = сое 27га: + гвн^ла;
Хз> Х4, Х12 — соответственно неглавные характеры по модулям 3, 4 и 12, причём Х12 = ХзХ4;
е - произвольное положительное сколь угодно малое число;
т(п) - функция число делителей числа п;
С (й) - дзета функция Римана, э = а + й;
~ Функция Дирихле по характеру у;
с, с, сг, • • • -положительные постоянные;
е-положительная сколь угодно малая постоянная;
х > 1 - положительное вещественное число;
— 1п х натуральный логарифм от числа х.

Введение
Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел и её основным предметом исследования является вывод асимптотических формул для сумм
то есть для “средних Рисса” веса а > 0 многомерной функции делителей, и функции суммы квадратов, распространенных на значения тернарной кубической формы
ір = ір(ги г-і, г3) = г + г + г2, г3 Е г.
Поясним, что функцией делителей Тк{п) называется количество представлений натурального п в виде п = х...Хк, где х,...,Хк — натуральные числа. Функцией суммы квадратов г(п) называется число решений уравнения х і + х = п в целых числах Х и х2.
Под средней Рисса порядка а, значений функции /(г), распространённой на некоторое конечное множество точек г Е М в количестве N элементов, здесь понимается величина V, равная сумме

Интеграл Л по правой боковой стороне прямоугольника в точности совпадает с интегралом из формулировки нашей леммы. Внутри этого контура подинтегральная функция является аналитической, и поэтому J = О
,7 — ,1 + .І2 + <7з + Д — О,

Д = ~Д — *7з — Д-
Переходя к неравенствам, при любом фиксированном Ь > а получим
1*711 < |Д| + Щ + Ш- (2-3)
Оценим каждое из слагаемых в правой части неравенства. Сначала оценим интегралы по горизонтальным отрезкам прямых

Пользуясь представлением функции В(я, а+1) через гамма-функции (лемма 2.4), то есть соотношением
Г(в)Г(а + 1)
В(в, а + 1) —
Г(й + а + 1)
находим

Щ = ІЛІ <~
ігт«+і)
|Г(в + а + 1)|
|Г(а + 1)| 2л

|Г(в + а+ 1)|

Далее, по формуле Стирлинга (лемма 2.3) оценим Г - функцию |Г(я)| = Iгра+{Т--<Т+*§(<г- з )у/2п^ (1+0 (Т“1)) = = у/2-кТ’-Ъе'**' (1 + 0 (Т'1)) ,