Билинейные отображения коммутативных регулярных полугрупп

• Автор: Попырин, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 96 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПЩЦЕЛЕНИЯ

ГЛАВА I. АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ПОЛУГРУПП, БИХАРАКТЕРАМИ,

ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕДИКАТОВ

§ I. Аппроксимируемость коммутативных полугрупп периодическими бихарактерами и бихарактерами без кручения

§ 2. Аппроксимируемость полугрупп бихарактерами

относительно предикатов

ГЛАВА 2. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§ I. Слабая двойственность комкутативных

полугрупп

§ 2. Невырожденные билинейные отображения

ГЛАВА 3. РАСЩЕПЛЯЕМОСТЬ БИЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

ПОЛУГРУПП
§ I. Расщепляемоеть билинейных отображений конечно определенных полугрупп в кольцо
главных идеалов
§ 2. Расщепляемоеть билинейных отображений
полугрупп в поле
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы.
Билинейные отображения - это классический объект линейной алгебры и тензорного исчисления.
Изучение свойств билинейных отображений абелевых групп, коммутативных колец, модулей и полугрупп составляет важное направление современных алгебраических исследований. К этому направлению относятся многочисленные исследования по тензорным произведениям групп. Изучались также и тензорные произведения полугрупп. Первоначальные результаты в этом направлении получены Т.Хедом [26] , П.Грийе [24], Р.Фулпом [22].
В монографии Л.Фукса [19] сформулирована проблема: для данного класса колец найти необходимые и достаточные условия на группу К » ЦРИ которых существует такое кольцо й. из этого класса, что его аддитивная группа изоморфна группе А . В работах Р.Быомонта и Д.Ловера [20], У.Уиклеса [30], Ж.Рей-да [29], С.Фейгелыптока [21] рассматривается возможность задания на данной группе кольцевой структуры с определенными свойствами. В качестве кольцевых свойств рассматриваются радикальность, тривиальность левых аннуляторов, полупростота и другие. Рассматриваемые вопросы для данной группы К фактически эквивалентны существованию билинейных отображений ]: А* /Ч ~> N с определенными свойствами. В качестве этих свойств выступают различные типы невырожденности билинейных отображений. Аналогичные вопросы естественно рассматривать для коммутативных полугрупп и классов полуколец.
Вопрос о расщепляемости билинейных отображений является вариацией известной задачи о представлении функции двух пере-

менных функциями одной переменной.
Вопросы двойственности и квазидвойственности полугрупп рассматривали Р.Фулп и П.Хилл [23^, М.М.Лесохин [10], [9],
А.И.Купцов [9]. Одним из обобщений понятия двойственности является понятие слабой двойственности.
Изучение условий аппроксимируемости алгебраических систем теми или иными отображениями является одним из актуальных направлений алгебраических исследований. Кроме многочисленных работ советских и зарубежных алгебраистов по аппроксимации полугрупп гомоморфизмами, имеется ряд работ, в которых рассматриваются вопросы аппроксимируемости полугруппы А относительно равенства всеми бихарактерами и конечными бихарактерами полугрупп К и £ (см., например, [15], [27^).
Все выше сказанное объясняет важность и естественность изучения свойств билинейных отображений полугрупп, а именно, существования невырожденных билинейных отображений, расщеп-ляемости, слабой двойственности полугрупп, аппроксимации полугрупп билинейными отображениями.
Цель работы. Описание полугрупп, аппроксимируемых бихарактерами относительно стандартных предикатов ; нахождение условий слабой двойственности полугрупп, невырожденности и расщепляемости билинейных отображений полугрупп.
Краткое содержание работы.
В первой главе рассматривается отделимость элементов полугруппы К бихарактерами полугрупп А и й , т.е. билинейными отображениями полугрупп А и !> в мультипликативную полугруппу, состоящую из всех комплексных чисел, по модулю равных I и нуля.

нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.
ЛЕММА 1.1. Между полугруппами: А и Р имеет место слабая двойственность относительно полугруппы С тогда и только
(£С4))(ё) - . Легко проверить, ЧТОуС - гомоморфизм.
Более того, X - инъекция, так как для любых <*-, , аг из /4 ,
* в-г. , найдется Л из В , что Н^-,,4) Ф -6 ) , т.е. Хса-г) Ф/ССЯг) . Множество Х(.А) отделяет элементы из Д , так как для любых из В , ^ Ф , найдется а. из А ,
что гК#-, #,) ф-€>*) , т.е. £(<*-)(■%■, )ф£(‘*)(&2.) >
Обратно, пусть существует изоморфное вложение Ж полугруппы /4 в Йо^СЬ^С) такое, что £(4) отделяет элементы из $ . Положим Й(4, 6) = ^) . Легко проверить,
что -У - билинейное отображение полугрупп /4 и В в С и удовлетворяет необходимым для слабой двойственности полугрупп /4 и $ относительно С условиям.
ЛЕММА 1.2. Пусть /4 - полуструктура с условием минимальности, £* - двухэлементная полуструктура. Тогда Йо^ (А, С ) изоморфна полуструктуре (А')* , где (А*)* - полуструктура,
двойственная полуструктуре (А'1).
Доказательство. Пусть С - {о, 1) . Через Ч*. обозначим отображение /4 в С такое, что , если а+ё =ас.
Легко проверяется, что - гомоморфизм. Рассмотрим гомомор'
тогда, когда существует изоморфное вложение £ • А —* Нос ) такое, что ^СА) отделяет элементы из £ .
Доказательство. Пусть между полугруппами А и £ имеет место слабая двойственность, ^ - соответствующее билинейное
отображение полугрупп- А и £ в С . Определим отображение
полугруппы А в Нот(£>,с) следующим образом:
О , если а+6 Ф ас