О некоторых разложениях в неархимедовских нормированных кольцах и полях

• Автор: Сухарев, Иван Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Посвящаю эту работу своим родителям.

Содержание
Введение
Обозначения

1 История вопроса

1.1 Разложения Оппенхайма для действительных чисел

1.1.1 Алгоритм Оппенхайма

1.2 Разложение Оппенхайма в поле р-адических чисел

1.2.1 Поле р-адических чисел

1.2.2 Алгоритм разложения Оппенхайма в

1.2.3 Свойства р-адического разложения Оппенхайма

1.2.4 Доказательства свойств р-адического разложения Оппенхайма
2 Разложения Оппенхайма в кольце <0>д
2.1 Проблема формального использования алгоритма в кольце <Ц>д
2.2 Структура кольца (Теорема Малера)
2.3 Аналог разложения Оппенхайма для кольца 0>д
2.4 Доказательства теорем для аналога разложения Оппенхайма
в кольце ((|5
3 Полиадический анализ и его обобщение
3.1 Обзор результатов про полиадические числа
3.1.1 Кольцо полиадических чисел
3.1.2 Другое построение кольца полиадических чисел
3.1.3 Меры и интегралы для полиадических чисел
3.2 Кольцо полуполиадических чисел
3.2.1 Построение кольца полуполиадических чисел
3.2.2 Другое построение полуполиадических чисел
3.2.3 Меры и интегралы для полуполиадических чисел
3.2.4 Измеримые множества в кольце полуполиадических чисел, асимптотические меры и примеры
Список литературы

Введение
Поле Q рациональных чисел можно пополнить по метрике, порожденной обычной абсолютной величиной, и получить поле R действительных чисел. Пополняя поле Q по метрике, порожденной р-адической нормой (определения даны в главе 1.2.1), получим поле Qp р-адических чисел.
Р-адические числа являются актуальным объектом современных исследований, так как они имеют многочисленные приложения не только в теории чисел, но и в других разделах теоретической и прикладной математики, информатике, а также других естественных науках: физике, химии, генетике, (например, см. [4])
Известны различные способы представления действительных чисел: позиционные системы счисления, непрерывные (или цепные) дроби различных классов (регулярные, по ближайшему целому, ветвящиеся) (см. [27, 48]). Также известны разложения Энгеля, Люрота, Сильвестра, Кантора (см. [41]). Эти разложения были обобщены А. Оппенхаймом [40], [23]. Свойства этих разложений, в основном, метрические, исследовал А. Оппенхайм [40], Я. Галамбош [23, 24], Ю. Ву [50], [51] и другие.
Для р-адических чисел также существуют различные представления: помимо канонического представления известны разложения в р-адические непрерывные дроби (см. [44, 35, 46, 37]), свойства которых исследовались, например, [35, 36, 37, 44]. Естественной задачей было получение аналогов разложений в полях р-адических чисел. В [30, 31, 33, 32] А. и Дж. Кнопфма-херами предложены такие аналоги: разложение «типа Люрота», «типа Энгеля», «типа Сильвестра». Они являются частными случаями полученного
А. и Дж. Кнопфмахерами аналога разложения Оппенхайма для поля Qp [31].
Одним из важных направлений теории чисел является вероятностная теория чисел. Эта теория получила значительное развитие в трудах российских и советских математиков. Работы по данному направлению опубликовали Й.П. Кубилюс [6], А.Г. Постников [15,16], М.П. Минеев [9], Э.К. Жим-бо, В.Н. Чубариков [5], Архипов Г.И., Карацуба A.A. [2].
В направлении исследования метрических и асимптотических свойств разложений чисел были получены некоторые результаты. В частности, Ягер и де Вроедт [29], а также Салат [45] получили результаты для разложений Люрота действительных чисел, П. Эрдеш, А. Реньи и П. Шуц [22]
— для разложений Энгеля и Сильвестра, А. Реньи [43] — для бесконеч-

ного произведения Кантора, и Галамбош [24] — для более общих случаев, названных р-адическим разложением Оппенхайма. Рубан [44] исследовал р-адические метрические теоремы, аналогичные доказанным Хинчи-ным для действительных цепных дробей. Соответствующие результаты для р-адического разложения «типа Энгеля» и «типа Люрота» были получены А. и Дж. Кнопфмахерами [33] и Грабнером и А. Кнопфмахером [26] соответственно, свойства р-адического разложения Оппенхайма исследовал
Объектами исследования этой работы являются прямые суммы и произведения некоторых совокупностей р-адических полей (см. работы автора [53, 54]). В первой части работы рассматриваются аналоги разложений Оппенхайма в кольце р-адических чисел. В пункте 2.1 показано, что если применить алгоритм р-адического разложения Оппенхайма для позиционной системы счисления по степеням составных чисел (в кольце <0>9, где число д — составное), то алгоритм, представленный в [31], откажется работать на некотором шаге с вероятностью, стремящейся к единице с ростом числа его шагов (см. стр. 26). Поэтому в главе 2.3 предлагается многомерный аналог разложения Оппенхайма, опирающийся на то, кольцо д-адических чисел представляет собой прямую сумму полей р-адических чисел Фе = П Од» 9=Рі”’Рк (теорема Малера [38, гл.5]).
Вторая часть работы посвящена исследованию прямых произведений бесконечной совокупности колец целых р-адических чисел.
Опишем вначале конструкцию, которая провела к понятиям р-адических и полиадических чисел.
Рассмотрим некоторую последовательность натуральных чисел {рД и комплексную переменную 2. Для каждого числа А; Є N верно следующее полиномиальное тождество
(1 + 2 + . + 2й-1)(1 + 2Рі + . А 2Р1(Р2-1})(1 + 2Р1Й + . + Д№(Рз-1>) . = = 1 + 2 + 22 + 23+... + 2РіР2"'Р*_1.
В частности, если последовательность р постоянная, то есть pj = р для всех j, то тождество примет вид
Ю. Ву [49].
і=1,к

2.4 Доказательства теорем для аналога разложения Оп-пенхайма в кольце <0>д
Далее приводятся доказательства утверждений из 2.3 главы диссертации.
Доказательство леммы 8. Из условий теоремы 7 для коэффициентов разложения каждой координаты ж* € фр* мы имеем
По теореме 7, стр. 20, о сходимости алгоритма Оппенхайма, множество {х{ € ХРх : а(х,{) = к{
Доказательство леммы 9. По предыдущей лемме 3 в каждом поле <0>Р1 справедливо равенство
и диаметром

Поэтому,
Рг{хг е ХРг : а(х{) = к
~ Ё Ыгз(Ц))-фД1)))+21/г(к)

- Ё(г'.0ф-''.Ц))+2г',(А:;и.1)