T-пространства в относительно свободной алгебре Грассмана

• Автор: Цыбуля, Лилия Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Базовые сведения
1.1. Основные определения, обозначения и утверждения
1.2. Теоремы о выравнивании
1.3. Теорема о мономиальности
Глава 2. (р, п)-проблема
2.1. О неприводимости системы порождающих Т-пространств
Ср1 и СИр1
2.2. Разложение Т-пространства ¥п на диагональную и коммутаторную составляющие
2.3. Структура диагональной компоненты
2.4. Структура коммутаторной компоненты СБп
2.5. Ответ на (р, тг)-проблему. Диаграммы включений
Глава 3. Структурные результаты
3.1. Теорема о независимости элементарных составляющих
3.2. Технические леммы и теоремы
3.3. Простота элементарных факторов и прямые суммы
3.4. Случай характеристики
Глава 4. Мультипликативная структура
4.1. Теорема о строении Т-алгебры Ифг
4.2. Описание и некоторых Т-пространств как Иф- и £>р-модулей
4.3. Случай характеристики
Приложение
П.1. Строение У/*ь над полем характеристики р, делящей п
П.2. Случай взаимно простых п и р. Характеристика нуль
П.З. Список открытых вопросов
Предметный указатель
Список обозначений
Список литературы

Введение
Актуальность темы диссертации. Понятие Т-пространства, как линейного подпространства свободной счетнопорожденной ассоциативной алгебры F = k(xi
В 1987 году А.Р. Кемер [18] получил положительное решение проблемы Шпехта [36] о конечной порожденное™ любого Т-идеала алгебры F над полем нулевой характеристики. Этот факт в некоторой степени повлиял на появление понятия Т-пространства. Примерно в это же время при доказательстве конечной базируемости систем обобщенных многочленов (т.е. элементов свободного произведения алгебры матриц и свободной алгебры F) A.B. Гришиным [7] было замечено, что в случае поля характеристики нуль достаточно только подстановок и линейных действий (умножения оказались не нужны). Это привело к понятию Г-пространства в алгебре обобщенных многочленов, а также стимулировало получение аналогичного результата для систем обычных многочленов (т.е. для элементов из алгебры F). Немного позднее им же в работе [8] вводится понятие абстрактного Т-пространства, существенно обобщающее предыдущее определение Г-пространства, под которым теперь понимается любой унитарный правый йГ-модуль, где кТ — полугрупповая к-алгебра полугруппы Г эндоморфизмов (подстановок) алгебры F. Расширение таким образом понятия Г-пространства освобождает от необходимости рассматривать только подпространства в
свободных алгебрах, можно брать фактор-Т-пространства, прямые суммы Г-пространств и т.д. Кроме того, имеется большой запас примеров Т-пространств иной природы, связанных со следами, квазимногочленами и некоторыми другими специальными конструкциями (см. [8], [33]). Современный взгляд па концепцию Г-пространства изложен в [14]. Через S1 обозначается Г-пространство, порожденное подмножеством S некоторого Г-пространства.
Пусть I — произвольный Г-идеал алгебры F (возможно нулевой). Относительно свободная алгебра F/I является, очевидно, циклическим /сГ-модулем, порожденным любой из своих переменных. Согласно результатам A.B. Гришина [8], [33], если к — поле нулевой характеристики, а идеал I содержит многочлен Капели
Сп = 'У ] ( 1) У№сг{)У %ст{п)Уп1
aeS„
то этот циклический модуль нетеров. В качестве следствия получается конечная базируемость любого Г-идеала, содержащего многочлен Капели. Позже В.В. Щиголев [28], используя технику и обобщение результатов A.B. Гришина [8] и А.Р. Кемера [17], [18], доказал, что F — {xi}T — нетеров /сГ-модуль, т.е. всякие условия на Г-идеал / можно отбросить. Положительное решение проблемы Шпехта [18] является, как нетрудно видеть, частным случаем этого факта.
Рост интереса к Г-пространствам, как представляется, произошел и в связи с тем, что в конце 1997 года A.B. Гришиным был построен пример неконечно порожденного Г-пространства над полем положительной характеристики: Г-пространство, порожденное одночленами xf... х„, п Е N, над произвольным полем характеристики 2 не является конечно порожденным как Г-пространство даже по модулю тождества [[ж, у, z] — 0, и более того, даже если добавить тождество ж4 = 0. Примеры неконечно порожденных Г-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В.В. ГЦиголевым в [29]. В частности, им было доказано, что Г-пространство, порожденное элемен-

Шаг 3. Повышение степени переученной Х.
Осуществим В многочлен С(р',р!п'1)(жІ!?/і)С(р'п2]р!)(Ж2, У'і) ту же подстановку, которую применяли для повышения степени переменной Х у многочлена Х± ~1у[ Пі~1 [жі, Уі]. В результате получится многочлен ПіСа, где (пі.р) = 1. Отсюда следует, что са Є {соіі}Т.
Пусть теперь т > 2. Докажем включение (1.5). Чтобы получить нужные степени переменных уі, применим указанные выше в шаге 1 подстановки ко всем переменным Хі, і — 1,т, многочлена ст>і. Таким образом, МЫ ПОЛуЧИМ МНОГОЧЛеН Сріріп (х, Упір) (*2) У2) ' * * (З'ттгэ Упг)
Далее, чтобы у последнего многочлена повысить степени переменных Хі, г = 2,т, нужно последовательно повышать их для каждого его г-го блока С(рі'ріп>г)(хг,уі), г = 2,т, используя 1-ый блок С(рі>ріп(хі,уі), как это было описано в шаге 2. В итоге мы получим многочлен С(р!.р'™1)(Ж1 > Уі)С(р1п2,р1п'2)(х2, У2) ’ ’ ' {>1пт,р1п'т)(®т.) 2/т) К ЭТОМу МНОГОЧЛЄНу применим шаг 3, чтобы повысить степень переменной ад. В результате получим многочлен щса, где (щ,р) = 1, значит, са Є {ст!і}Т. Таким образом, включение (1.5) выполняется для любого т Є N. Из доказанных включений следует равенство Са
Может случиться так, что среди переменных Хі, уі, і — 1, т, имеется несколько переменных уровня I. На подстановках, указанных в шагах 1 и 2, это никак не отражается, и утверждение остается справедливым.
(2) Рассмотрим Т-пространство СБа<ь = {/іа,ь}Т = {сас1ъ}т Подставляя 1 вместо всех переменных одночлена с4, получим, что с0 Є {сас1ъ}т’. Согласно только что доказанному {ст);}т = {са}т, значит, {сш,;}7 С {сас4}г. Обратное включение также выполняется. В самом деле, ПО условию все переменные имеют уровень, больший I, поэтому <4 = г? 91... где qj делится на р для любого 3 — 1, в. Осуществим в ст>і подстановку Х і—> Х_г1 .. г]3. Получим следующий многочлен:
Учитывая, что qj делится на р, применим коммутаторные соотношения к этому многочлену. В результате всех преобразований придем к мно-