Некоторые алгоритмические проблемы в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой

• Автор: Инченко, Оксана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Метод диаграмм при решении некоторых алгоритмических проблем в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой
1. Диаграммы над конечно порожденными группами Кокстера с
древесной структурой
2. Параболические подгруппы
3. Описание централизатора элементов конечного порядка
4. Разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов
Глава 2. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой
1. Разрешимость проблемы вхождения
2. Базовые понятия
3. Случай свободного произведения двух двупорожденных групп Кокстера
объединенных по конечной циклической подгруппе
4. Обобщение на случай свободного произведения п двупорожденных групп Кокстера с объединением
Глава 3. Проблема сопряженности подгрупп
1. Необходимые утверждения
2. Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в свободном
произведении двух двупорожденных групп Кокстера объединенных по конечной циклической подгруппе
3. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах
Кокстера с древесной структурой
Библиографический список

Введение
Актуальность темы
Комбинаторная теория групп долгое время развивалась под влиянием геометрии и топологии. Как самостоятельная наука со своей проблематикой она оформилась по существу только после того, как в 1911 году М.Дэн
сформулировал для класса конечно определенных групп основные
алгоритмические проблемы: проблему равенства слов, проблему
сопряженности слов и проблему изоморфизма. Данные проблемы получили
отрицательное решение в работах Новикова П.С. В [30] им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым была доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных групп. В [31] Новиков П.С. построил пример группы с неразрешимой проблемой сопряженности слов, но разрешимой проблемой равенства. Используя полученные результаты, им была доказана неразрешимость проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. В связи с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстера.
Группа Артина - это группа С, заданная копредставлением с системой образующих я,, / е /, |/| < оо, и соотношениями а1а]аг.. = а а1а
стоящие слева и справа, состоят каждое из ти чередующихся букв а, и а], ти-
элемент симметрической матрицы Кокстера М = [т0). е/ соответствующей
данной группе С, ти~ тр, при i Ф у , ти е {2,3,..}.
Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/ е /, а2 =1, получим копредставление соответствующей группы Кокстера. Группы Кокстера были введены Кокстером в 1935 году. Результаты изучения этих групп изложены у Бурбаки [21].

Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в данном классе групп проблему тождества слов, используя геометрические методы [35]. Алгебраическая теория групп кос была построена Марковым A.A. [28], который решил проблему равенства другими методами. Гарсайдом и независимо Маканиным Г.С. для групп кос была решена проблема сопряженности слов [26], а в [27] доказано, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден, и построен алгоритм выписывающий образующие этого нормализатора. Гурзо Г.Г. получила алгоритм для нахождения образующих централизатора конечного множества элементов группы кос [22]. Отметим, что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы равенства в конечно определенных группах Артина.
В 1974 году Брискорном и Сайто [20] был введен класс групп - группы Артина конечного типа. Группа Артина называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Кокстера конечна. Брискорн и Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в данном классе групп [20]. Для групп Артина конечного типа Безверхним В.Н. и Гринблатом В.А. было получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [9]. Трубицин Ю.Э. и Гринблат В.А. доказали разрешимость проблемы обобщенной сопряженности слов. Безверхний В.Н. доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа.
В 1983 году Аппелем К. и Шуппом П. был выделен класс групп Артина большого и экстраболыного типа. [33]. Если все числа т симметрической
матрицы Кокстера для групп Артина или Кокстера больше либо равны трем, то группы называются группами Артина или Кокстера большого типа. Если все числа т симметрической матрицы Кокстера для групп Артина или Кокстера
больше трех, то группы называются группами Артина или Кокстера экстраболъшого типа. Для групп Артина и Кокстера экстраболыиого типа

множества В/ — А А" и сопряжено некоторому слову V є С], то есть существует слово г є Є такое, что — V, где |г| > 2.
Покажем, что диаграмма М должна иметь вид рис. 1.12. По условию V є С, А_

где О' =п* С7, , причем
<31>
никакая
Рис. 1.12 Диаграмма равенства слов
вершина из графа Г , соответствующего параболической подгруппе Є не связана общим ребром с некоторой вершиной из графа ГН1 , соответствующего параболической подгруппе б , в графе Г. Следовательно, свободное

произведение С* = Рф' 6, не содержит соотношений связывающих образующие

из разных параболических подгрупп, а значит, в диаграмме не может быть а
областей с метками на этих

Рис. 1.13 Диаграмма равенства слов
образующих. Таким образом, если 0 V еС то слово V содержит в своей записи образующие, принадлежащие,
по крайней мере, двум параболическим подгруппам. Тогда, вырезав из диаграммы вида рис. 1.13, область с меткой на образующих не связанных в свободном произведении определяющим соотношением, и склеив ее по границе, получим диаграмму вида рис. 1.12.
Таким образом, будем рассматривать кольцевые диаграммы сопряженности слов вида рис. 1.10 б). Дальнейшие рассуждения проводим аналогично предыдущей лемме.