G-многообразия нильпотентных групп и многообразия степенных групп

• Автор: Амаглобели, Михаил Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 154 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. С-тождества и С-многообразия

§1. Категория С-групп

§2. Связи с С-аппроксимируемостью и алгебраической

геометрией

§3. Вычисление группы редуцированных С-тождеств

§4. Вычисление группы редуцированных тождеств для относительно свободных нильпотентных групп
Глава 2. Тензорные произведения абелевых групп и структура С-свободных нильпотентных групп

§1. Треугольные представления тензорных произведений

абелевых групп

§2. Структура С-свободных нильпотентных групп ступени
Глава 3. С-тождества нильпотентных групп
§1. Абелевы группы и приложения
§2. Нильпотентные группы ступени
§3. Коммутаторные подгруппы
§4. Редукция к С-тождествам от двух букв
§5. Структура Кцге^С)
§6. Структура У2,геДС)

Глава 4. Многообразия нильпотентных степенных групп и связанные с ними основные алгоритмические проблемы
§1. Основные понятия теории степенных групп
§2. Многообразия нильпотентных .4-степенных групп
§3. Свободные нильпотентные -4-группы ступени
§4. Алгоритмические проблемы для -4-степенных групп
Литература

Введение
Многообразия алгебр — это классы алгебр, определяемые системами тождеств языка первой ступени. Впервые они были точно определены в работах Гаррета Биркгофа [24] и Б, X. Неймана [37]. В настоящее время теория многообразий алгебраических систем — бурно развивающаяся ветвь алгебры, представленная в ряде специальных монографий [4], [7], [14]. В частности, теория многообразий групп прекрасно изложена в монографии X. Нейман [37]. В предисловии к этой книге ее переводчик А. Л. Шмелькин об этой ветви теории групп написал: “... своими результатами и методами она оказала столь сильное влияние на теорию групп, что в настоящее время (1969 г.) является одним из наиболее важных разделов этой теории”.
Последующие годы с одной стороны подтвердили справедливость этой оценки, а с другой стороны логика развития алгебры и, в частности, универсальной алгебры привела к расширению этих понятий в разных направлениях.
В работе [29] Г. Баумслаг, А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников изложили основы алгебраической геометрии над фиксированной группой С. В частности, в этой статье введены категория С-групп, понятие О-свободной группы, категории алгебраических множеств над группой С и категория координатных групп для алгебраических множеств над О. Логические основания алгебраической геометрии над группами изложены в статье [33]. Для решения проблем алгебраической геометрии над группами потребовалось развитие теории универсальных классов групп, заданных универсальными формулами группового языка первой ступени с коэффициентами из фиксированной группы С. В частности, понятия О-тождества и ^-многообразия являются весьма существенными в этой теории.
Отметим, что эти понятия, несколько в другой редакции, встречались в работах В. С. Анашина [1, 2, 3], Р. М. Брайанта [31], И. 3. Голубчика
частности, ядра гомоморфизмов внутри этой категории будем, называть радикальными идеалам,и.
Определение 1.2.6. Если I — некоторое множество индексов, то группу
с(/) = []сь Ф = будем называть универсальной группой в категории Бд.
Это определение оправдано тем, что любая группа Н из Бд С-изоморфна С-подгруппе группы С(7) для подходящего множества индексов /.
2.3. Связь с алгебраической геометрией. Пусть С — группа, п — натуральное число, С" — аффинное пространство размерности п. Пусть V множество тождеств, истинных на группе С и Су [Л”] — (С, Несвободная группа ранга п. Пространство Сп является алгебраическим множеством; пусть Тдп — координатная группа п-мерного аффинного пространства Сп.
Теорема 1.2.1. В выше приведенных обозначниях
Гдп * Су[Х}/Уп,ге<1{0).
Доказательство. По предложению 1.2.2 координатная группа алгебраического множества изоморфна группе функций этого алгебраического множества. По результатам того же пункта последняя группа есть факторгруппа ОуХ]/Рін{У), где Р содержит все те элементы ИЗ Су[Х], которые представляют тривиальную функцию. По определению тривиальной функции этот элемент является С-тождеством.
Верно и обратное. Любое С-тождество представляет тривиальную функцию. Поэтому Р равно Пп>с(С). Следовательно,
Тдп £ СгИ/КДС),