Асимптотический анализ вероятностей редких событий при больших уклонениях гауссовских стационарных процессов и полей

• Автор: Ладнева, Анна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЕДЕНИЕ
ЛАВА Г АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОВРЕМЕННЫХ КСТРЕМУМОВ ДВУХ ГАУССОВСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ РОЦЕССОВ
1.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
1.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
ЛАВА 2. АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ДВОЙНОГО ЭКСТРЕМУМА ;ля ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ
2.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
2.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
2.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
ЛАВА 3. О ЗАДАЧЕ О КЛАСТЕРАХ ДЛЯ ГАУССОВСКОГО НАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА
3.1 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
3.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
3.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
'ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия всесторонне исследуется и развивается теория гауссовских случайных процессов и полей. Это связано с тем, что гауссовское распределение представляет собой весьма обширную область теории случайных процессов, а также с естественностью задания гауссовских распределений. Привлекательность гауссовских процессов состоит в том, что имеется возможность получения для случая гауссовских случайных процессов общих предельных теорем в терминах естественных характеристик — математического ожидания и ковариационной функции. Значительные успехи достигнуты в изучении распределения супремума траекторий, в предельных теоремах, в изучении свойств регулярности траекторий гауссовских функций и задачах типа пересечения уровня. Эти проблемы и еще ряд других направлений в теории гауссовских процессов достаточно полно освещены в работах [12], [14].
Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств вероятности двойного экстремума для гауссовских стационарных процессов и полей.
Эти задачи берут начало с работ Д.Пикандса [45], [46]. Д. Пикандс первым предложил естественный и красивый способ вычисления точной асимптотики вероятности
для гауссовских стационарных процессов Х{{). Этот способ основан на принципе локализации, то есть выделении малого подмножества параметрического множества Г, которое вносит доминирующий вклад в асимптотику. В работе [45] автор предложил эффективный метод изучения последней вероятности для гауссовского стационарного процесса с ковариацией, удовлетворяющей некоторым условиям, но при этом были допущены принципиальные ошибки. Устранению этих ошибок и дальнейшей разработке способа нахождения точной асимптотики были посвящены работы В.И.Питербарга [21], С.Бермана [29], К.Кволса и Х.Ватанабе [48]. В процессе развития и уточнения этого метода оказалось, что в определенном смысле он

является аналогом метода Лапласа и эта аналогия имеет два подтекста.
Первый состоит в том, что если траектория непрерывного гауссовского процесса содержится в событии под знаком вероятности в рассматриваемом выражении, то она, как правило, достигает значений, превышающих уровень и, на множестве бесконечно малого при и —у оо диаметра.
Второй подтекст заключается в том, что эти множества малого диаметра, распределенные по всему параметрическому множеству Т в случае стационарного или близко к стационарному процесса, в нестационарном случае концентрируются вокруг множества точек, в которых достигается максимум дисперсии процесса X.
Позже, как видно из работ Ю.К.Беляева и В.И.Питербарга [2], К.Кволса и Х.Ватанабе [48], [49] и М.А. Лифшица [8], [9], этот метод был обобщен на случай гауссовских стационарных полей, включая процессы и поля, определенные на бесконечномерных параметрических множествах.
Также в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности, теории приближения случайных процессов и других возникают гауссовские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал
С. Берман в [26]. В работе [19] В.И. Питербарг и В.П. Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного гауссовского процесса (из изученного уже класса). В работе В.Р. Фаталова [22] найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в Мп.
В работе [7] уделено значительное внимание случайной величине, равной числу моментов времени, в которые траектория процесса пере-

и и {Х^)>и}п{Х2(з)>и} 1Мепу>

и {Х1(0>«}П{ЗД>«} . (14)
(М)е£> /
Наша задача — получить асимптотические оценки для искомой вероятности сверху и снизу, причем эти оценки должны быть одного порядка по и.
Сначала оценим первую вероятность в правой части (13). Она равна вероятности в правой части (14).
Положим Аа{ = Ти~2/а г = 1,2, Т > 0, и определим интервалы
Ак = [кАа1,(к + 1)Да1], 0 <к<Щ, N. = [ТУД^], (15)
Д, = [1Ха2, (I + 1)Дв2], О <1<Щ, IV, = [Г2/Даз],
где [•] — целая часть числа. Используя лемму 1.1, получаем
р( и Ш*)>«}п{ЗД>«}| <
(м)ел I
<Р| и и {х1(*)>и}п{ад>«}) <
Д^ПД^Й, Д;П.0/0 «€Л*,вёД| )
< Ю Р (тахХ1^) > и, тах-Х^) > Д) =
(к,1):Д*П1)#0,А|ПР# *€Л'
= Р (тах-Хт^) > и, тах Х2(£) > Д ] +
(*,/): Д*П£^0.А/П^/0,<гДв1 + 51 Р (шахХ2(^) > и, т&хХ^) > и] :=
(*;,г):Д^ПБ40,ДгП1)40,АДа1>;Да2 ''■геЛ' *еАк '
:= 51 + 52 (16)
Подсчитаем сначала первую сумму 51:
5 < (1+71(ц))(1 + г(^))2 х
1 ~ 27ГП2у/1 - г2^тах)
ХН“1 ((Г+Ки^м) Н“2 ((1 + г(*тм))2м) Х
х Ю ехр
(к,1): Д*ГШ#0, А,ПОф<И,кАа1
1 + г(71/)У’