Поведение итераций в окрестности неподвижной точки при случайных возмущениях параметров

• Автор: Калныня, Даце Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Рига
• Количество страниц: 114 c. : ил

Глава I. Запас устойчивости разностных линейных

систем при случайных возмущениях параметров... 27 § I.I. Коэффициентный критерий устойчивости решений стохастических разностных

уравнений в R171

§ 1.2. Экспоненциальная устойчивость решений линейных разностных уравнений со случайными коэффициентами в сепарабельном гильбертовом пространстве

Глава II. Поведение итераций при малых случайных

возмущениях параметров

§ 2.1. Асимптотическое поведение нормиро -ванных уклонений от решения уравнения

невозмущенного движения

§ 2.2. Исследование устойчивости равновесия

в критическом случае

Литература

Многие задачи теории вычислительной математики, теории автоматического регулирования, имитационного моделирования, радиоэлектроники и т.д. приводят к необходимости анализа дискретных динамических систем, описываемых разностными уравнениями. Одна из самых распространенных форм разностных уравнений имеет вид
(1)
где ^ - вектор из £Лг, а - параметр, характеризующей систему в целом и принадлежащий некоторой действительной области А , /■ •' Я х А -> £ ^ - достаточно
гладкая функция. Как правило, в этих задачах ищется неподвижная точка ^ уравнения (I).
Под эту схему прямо подходят итерационные методы вы -числительной математики, например, итерационные методы решения линейных уравнений, решение нелинейных уравнений методом Ньютона, многие задачи оптимизации. Таким же уравнением описываются и также приводят к поиску неподвижной точки задачи моделирования биологических и экологических систем, некоторые задачи планирования и управления народ -ным хозяйством. Даже в теории надежности программ число ошибок в программе описывается аналогичным уравнением, где неподвижной точкой является число ошибок, так и оставшихся в программе во время ее эксплуатации (не теряя общности, можно считать, что неподвижная точка - нулевая).
Надо отметить, что почти во всех задачах параметр со задается неточно. Так в последнем примере из области программирования, где параметром сь является число операторов

в программе, которое на первый взгляд кажется вполне определенным, имеется неточность, так как при исправлении ошибок число операторов в программе все время меняется. Поэ -тому рассматривается уравнение
=ЯгЛ,<ы-°Ц), (2)
где - какие-то случайные возмущения параметра <ъ . Обычно сравнительно малы. Практически всегда требуется исследовать процесс в окрестности неподвижной точки Ъ --£(2.)Сь) уравнения (I); и это показывает, что ва -жен вопрос об устойчивости итерационного процесса (2) к малым возмущениям параметра в окрестности неподвижной точки. К поиску неподвижной точки итерационного соотношения сводятся также некоторые задачи стохастической аппроксимации [15].
Все сказанное выше позволяет утверждать, что анализ поведения итераций в окрестности неподвижной точки при наличии случайных возмущений является весьма актуальной за -дачей.
Все результаты диссертации в некоторой мере связаны с изучением поведения итерационных схем, описываемых уравнением (2). Обозначим + • Тогда при малых о

~ ^ + **.+"/ - #Л + = £ (2, +•

Хпн =Рг/(1,«Х+^(2,оХ,+- (з)

= (I,
переходим к пределу в (1.17).
Имеем (I-*■ Л
Следовательно,
(I-Д)Л-°,
т.е., А = о
Отсюда следует, что 1йп. рк = У~Л) ^ , т.е. ряд
сильно сходится при любом К .Из сильной сходимости следует слабая сходимость, т.е., сходимость ряда
При любом >(^ 5=^X6 И : /х/ = 4у И любом с^еК. * чт0 и требовалось доказать.
Следствие 1.2. Если ^ - внутренняя точка конуса К , то ([1-ЛУ*°у также внутренняя точка К при положи
тельном (I-Л)"1 ■
Из теоремы 1.5 следует, ЧТО при любом Ср€ & (1-Я)^ =■
оо £
= 5 , т.е., утверждение следствия справедливо.
Следствие 1.3. Если существует положительный оператор
А °
(1-Л) , то для любого С^е К существуют в>о , о<$<±
такие, что