Стохастические актуарные модели, учитывающие перестрахование

• Автор: Ярцева, Дарья Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Поиск и оценивание различных количественных показателей работы страховой компании в дискретном времени
§1.1 Модель с дискретным капиталом
1.1.1 Основные уравнения
1.1.2 Верхние и нижние оценки
§1.2 Модель с непрерывно распределенными требованиями
1.2.1 Основные уравнения
1.2.2 Нахождение оценок средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков
1.2.3 Оценивание среднего времени до разорения
1.2.4 Оптимальное перестрахование с точки зрения среднего времени до разорения
Глава 2. Оптимальное перестрахование в многошаговых моделях
§2.1 Модель с пропорциональным перестрахованием и барьерной стратегией выплаты дивидендов
2.1.1 Оптимальное перестрахование за один год
2.1.2 Случай п ^
§2.2 Модель с непропорциональным перестрахованием
2.2.1 Случай п —
2.2.2 Случай п ^

Глава 3. Устойчивость моделей и предельные распределения капитала компании
§3.1 Устойчивость модели к изменению распределений выплат
3.1.1 Устойчивость решений интегральных уравнений
3.1.2 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов
3.1.3 Устойчивость средних дисконтированных убытков
3.1.4 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков при перестраховании
§3.2 Предельные распределения капитала
Литература

Введение
Страхование является важной частью жизни современного общества, практически каждый хоть раз в жизни обращался к услугам страховых компаний, чтобы оградить себя от возможных больших трат, связанных, например, с медицинским обслуживанием или порчей имущества. В ХХ-м веке изучение и моделирование работы страховой компании дало мощный толчок развитию современной теории вероятностей. В диссертации шведского актуария Лундберга [42], посвященной коллективной модели риска, был впервые рассмотрен пуассоиовский процесс. Другой шведский актуарий, Крамер, стоял у истоков теории случайных процессов и математической статистики. В 1929 году, специально для Крамера в университете Стокгольма была создана кафедра актуарной математики и математической статистики. Работы Крамера были посвящены теории риска [22] и ее приложениям к страхованию [23], коллективной теории риска [24]. Полный список его публикаций и биографию можно найти в [16].
Основная задача страховой компании — обеспечение выплаты возмещений полисодержателям. Именно поэтому в первых работах по изучению работы страховых компаний ставился вопрос, сможет ли компания удовлетворить все поступившие требования, т.е. какова вероятность неразорения компании. В классической модели Крамера-Лундберга капитал [/(1) страховой компании в момент Ь задается равенством

и(Ь) = и + сЬ — Х^,

где Xi — это размер г-го поступившего требования, и — начальный капитал, с — приход премий в единицу времени, N(1) — число требований, поступивших за вре-

откуда находим, что
Т(х) = ^Т(Ь)х + к,
где к— некоторая константа. Подставив полученное выражение для Т{х) в исходное уравнение и положив х = Ь получим систему
Т(Ь) = 1 + Т(Ъ)±(се - св( 1 - е)) + А £(АГ(Ь)г + к)(1г,

Т{Ь) = ±ЪТ{Ъ) + к, откуда находим, что
Т(Ь> " (‘ “ 7 (“ ~ “ е) + Ь ~ Т7 ) )
*-Г(Ь)(1-“).
Окончательное выражение для Т(х) имеет вид
Т(х) = Т(Ъ)