Статистические свойства оценок сигналов и изображений при пороговой обработке коэффициентов в вейвлет-разложениях

• Автор: Ерошенко, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Обозначения
Введение
Глава 1. Исследование свойств оценки риска при фильтрации сигнала от зависимого шума
1.1 Вейвлет-разложение и вейвлет-коэффициенты
1.2 Модель с коррелированным шумом
1.2.1 Модель краткосрочной зависимости
1.2.2 Модель долгосрочной зависимости
1.3 Пороговая обработка и оценка риска
1.4 Регулярность
1.5 Вспомогательные результаты
1.6 Асимптотические свойства оценки риска
Глава 2. Асимптотическая нормальность оценок риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет и вейглет-вейвлет коэффициентов линейного преобразования функции
2.1 Вейвлет-вейглет-разложепие и восстановление функции (У '0)
2.2 Метод вейглет-вейвлет-разложения функции (У-УО)
2.3 Модель данных с коррелированным шумом для метода ¥УО
2.4 Модель данных для метода УУО
2.5 Оценка риска при пороговой обработке
2.6 Вспомогательные результаты для метода ¥'’¥ Б
2.7 Вспомогательные результаты для метода У¥Е)

2.8 Основные теоремы
Глава 3. Асимптотические свойства оценки риска в задаче томографии при наличии зависимого шума
3.1 Преобразование Радона: вейвлет-вейглет-разложенне
3.2 Модель данных
3.3 Пороговая обработка и оценка риска
3.4 Вспомогательные результаты
3.5 Основная теорема
Заключение
Литература

Обозначения
РОД) вероятность события Л
ЕХ математическое ожидание случайной величины X
DX дисперсия случайной величины X
cov(X, Y) ковариация случайных величин X и Y
corr(X, Y) корреляция случайных величин X и Y
А сходимость по веротяности
=> сходимость по распределению
N(0,1) стандартное нормальное распределение
aj ~ bj lim = 1 при J —> оо
скалярное произведение
X комплексное сопряжение числа X
К* сопряженный к К оператор
K~l обратный к К оператор
ъ множество целых чисел
R множество действительных чисел
С множество комплексных чисел
L2 пространство функций, интегрируемых в квадрате
R оператор Радона

Таким образом, выполнены все условия утверждений из работ [57] и [44], и, значит, справедлива сходимость по распределению (31). Теорема доказана.
Замечание 1.2 На практике оказывается полезным знать, как вычисляется константа Са, например, для построения асимптотических доверительных интервалов для риска. В отличие от независимого случая, константа зависит не только от параметра а, но и от выбранного вейвлет-базиса. Константу Са можно вычислить достаточно точно, а именно, из (23) следует, чтоСа = С'а + С'^. В силу леммы

С" = Ит

J-¥ ОО 2]
а из (26) следует, что предел существует. Слагаемые вычисляются с помощью формул (15). В выражении (25) С'а вычисляется довольно просто, например, можно использовать константу С'а — |.
Далее покажем свойство состоятельности оценки риска, которое имеет место при более слабых ограничениях на а и 7 [9].
Теорема 1.2. Пусть 0 < а < 1 и функция / регулярна с параметром 7 > 0. Тогда для Ь > 1 — а + «(27 + I)-1 при пороговой обработке с «универсальным» порогом Т) выполняется
Ш_МйА о, .,-> 00. (35)
Доказательство: Из условий теоремы следует, что можно выбрать р" таким, что (27 + 1) < р" < (Ь + а — 1)/а. Следовательно, справедливо неравенство