О скорости сходимости спектральной функции распределения случайной матрицы

• Автор: Тимушев, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 96 с.

1 Скорость сходимости по вероятности в случае матриц из GUE

1.1 Формулировка результатов

1.2 Оценка Т^-нормы

1.3 Оценка Z/i-нормы

1.4 Оценка расстояния Колмогорова

2 О точности приближения спектра GOE

2.1 Формулировка результатов

2.2 Доказательство теоремы 2

3 Скорость сходимости спектральной функции DGUE

3.1 Формулировка результатов

3.2 Метод наискорейшего спуска

3.3 Оценка гг |Ап(ш) — Д„(^)|
3.4 Оценки хвостов
3.5 Критические точки fn(z)
3.6 Главный член
3.7 Доказательство теоремы 3
А Приложения
А.1 Расстояние Леви между функциями распределения
А.2 Преобразование Стилтьеса полукругового закона
А.З Оценка величин Е |бй|2
А.4 Плотность собственных чисел матрицы из DGUE

Пусть (Г2, F, Р) — произвольное вероятностное пространство, {Мтхп, || • \hs) — пространство вещественных или комплексных матриц размерности т х п с нормой Гильберта-Шмидта:
||A||hs = VTr(AA'), VA €
Здесь А* = АТ обозначает транспонированную комплексно сопряженную матрицу А, а Тг А — след матрицы А.
Определение 1. Случайной матрицей А называется измеримое отображение А = А(са), отображающее пространство элементарных событий Q в пространство матриц Мтхп.
Обозначим через 25(Mmxn) ст-алгебру борелевских подмножеств множества матриц Мтхп. Очевидно, что любая случайная матрица А естественным образом порождает на измеримом пространстве (Мтхп,%$(Мтхп)) некоторую вероятностную меру Рд.
Необходимость изучения свойств случайных матриц впервые возникла в конце 1920-х годов в работах Вишерта, в связи с задачами многомерной статистики. Толчком к последующему бурному развитию данной тематики послужили работы Вигнера [44, 45, 46] 1950-х годов в области ядерной физики. Из квантовой механики известно, что уровни энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, описываются с помощью собственных чисел некоторого эрмитового оператора, называемого гамильтонианом. Спектр такого оператора в общем случае состоит из непрерывной части и некоторого, возможно большого, числа дискретных уровней, а сам оператор действует в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве

правило, практический интерес представляет дискретная часть спектра, поэтому, чтобы избежать сложностей, вызванных бесконечномерностыо исходного гильбертова пространства, его аппроксимируют конечным гильбертовым пространством, а гамильтониан представляется в виде некоторой эрмитовой матрицы. Ввиду сложности системы, найти точное представление этой матрицы, в большинстве случаев, не представляется возможным. Вигнер был первым, кто заметил, что уровни энергии ядра статистически ведут себя подобно собственным числам некоторой случайной матрицы большого порядка (см. [44]) и предложил использовать такую матрицу для аппроксимации усеченного гамильтониана.
Определение 2. Вигнеровской случайной матрицей размерности п х п называется эрмитова матрица У — (л;/;)^=1, элементы и>ц, 1 I ^ п которой являются независимыми случайными величинами, причем:
1. гиц, 1 ^ I < 3 ^ п — независимые одинаково распределенные комплексные случайные величины, с независимыми вещественными и мнимыми частями, распределение которых не зависит от п, такие что
2. и)ц, 1 ^ I ^ п — независимые одинаково распределенные вещественные случайные величины, с не зависящим от п распределением, такие что
Пусть А¥ - вигнеровская случайная матрица. Одним из важных объектов ’изучения при исследовании спектральных свойств вигнеровских матриц является эмпирическая спектральная функция распределения матрицы.
Определение 3. Пусть Ат ^ Аг ^ ^ Лп — упорядоченные по возрасЕш^ = 0, Е|л;^|2 = <72
Егиц=0, Е юц2 — а2.
танию собственные значения нормированной матрицы Эмпирической
спектральной функцией распределения матрицы называется функция

где 1{в] обозначает индикатор события В.

Доказательство. Рассмотрим функцию /с(0 = И,—£)), —оо < £ ^ 0. Пусть — £ = з(1)е1в^ После несложных преобразований получим, что
йЩ)

(я(0 4—~"т—) сое 0(0
в(0

соэ 20(0
1 1
зт20(О(а(О ) зт0(О >.
52(0

Отсюда следует цепочка неравенств
<г*М 2у,
4а1
1 Г/ . . 1 + 4а2', . .
2^у) (*(*) + —г, [сов0(0
5(*)
52(0 (в2(<) - 1),
сое 0Г
VI + 4а2 4а2
в2^))
в(0 х/1 + 4а2
. ^ + т~г-- СО8 0 (0
,х/Г+4^ 5(0 ) К
( (1 + 4а2) вт2 А
“2(1 +
/1 + 4а2
сов 0(0
1 + 4а2

зт <5 соз0г
ЭШ2 вг
1 + 5 а2
л/1 + 4а2
Если положить в последнем неравенстве

получим
йк(
2/1 + 4о2 р2(*0
эт 0С,
—оо < < < 0.
Си 2(1 +4а2)
Объединяя это неравенство с леммой 3.2.1, имеем
Не (/(5(шл - <)) - /«)) > 40) - Ке/(г+) > 6(11^42а°
Таким образом, (3.2.2) доказано. Аналогично показывается неравенство (3.2.3).