Предельные теоремы для случайных блужданий в случайных средах

• Автор: Голосов, Андрей Олегович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 c. : ил

Глава I. Случайное блуждание в одномерной случайной среде: критический случай.

§1.1. Схемы доказательств теорем 1.1 и 1.3

§ 1.2. Доказательство теоремы 1

§ 1.3. Локализация случайного блуждания в одномерной случайной среде. Доказательство теоремы 1.3

§ 1.4. Доказательства вспомогательных утверждений

Глава 2. Случайные блуждания в симметричных случайных средах.

§ 2.1. Схемы доказательств теорем 2.2 и 2.3

§ 2.2. Случайные блуждания в симметричных неслучайных

средах

§2.3. Распределения в пространстве монотонных функций.

Доказательство теоремы 2

§ 2.4. Примеры. Доказательство теоремы 2.1
§2.5. Доказательства вспомогательных утверждений
Литература

В последние годы свойства неупорядоченных систем привлекают всё большее внимание исследователей, им посвящены книги И.М.Лиф-шица, С.А.Гредескула, Л.А.Пастура [i] и Дж.Займана [2] , статьи по теории уравнения Шрёдингера со случайными и почти-периодичес-кими потенциалами Е.И.Динабурга и Я.Г.Синая [з] , И.Я.Гольдшейда и С.А.Молчанова [4] , И.Я.Гольдшейда, С.А.Молчанова и Л.А.Пастура [5] , С.А .Молчанова [6J , С.Обри и Ж.Андре [7] , Дне- Аврона и Б.Саймона [8] , статьи по теории эллиптических и параболических дифференциальных операторов со случайными и почти-периодическими коэффициентами С.М.Козлова [9 - II] , П.Е.Дедика и М.А.Шубина [12] , В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоан [13],
В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник [14 - 17] и многочисленные другие работы.
Частью теории неупорядоченных систем являются исследования асимптотического поведения случайных блужданий и диффузии в случайных и неоднородных средах [18 - ЗбЗ , то есть марковских процессов со случайными параметрами. Необходимость исследовать поведение случайных блужданий в случайных средах возникала при моделировании процесса удвоения цепочки ДНК (А.А.Чернов [l8j) , кристаллизации одномерных сплавов (Д.Е.Темкин [19 - 20]) , явлений диффузии и проводимости в одномерных неупорядоченных средах (Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдер, В.Висс [21] , С.Александер, Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдер, Р.Орбах [ 22]^ , и в некоторых других физических задачах.
Дадим определение случайного блуждания в случайной среде, аналогичное данному Ф.Соломоном [23] . Мы считаем, что задано
топологическое пространство Н ( "фазовое пространство") , в ко-

тором происходит случайное блуждание, и С? -алгебра борелевских подмножеств И . В дальнейшем пространство н будет одним из следующих метрических пространств: 'Ж (у > 1) , ={0X2-,-} . Е- с обычными метриками. Пусть задано
также множествоТГ значений, которые может принимать время 4:; в дальнейшем Т — К-4.= [О, + оо) ,"ТГ~ 42-. Обозначим через измеримое пространство всевозможных
отображений Т в н , где — & -алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами X ;Х=НТ — "пространство всевозможных траекторий блуждания". Мы считаем, что задано вероятностное пространство (А,£д, Р) и семейство распределений , заданных на измеримом пространстве таким образом, что для любого
функция измерима по , причем предполагается, что
Рд есть распределение однородного марковского процесса с пространством состояний Н и временем ТГ ;^еА — любое. Множество А мы будем называть пространством сред, а вероятностное пространство (А. Ад. Я — случайной средой. Обозначим . На измеримом пространстве (л/П зададим вероятностную меру соотношением
РСО^Р^а?^),
А * Сол)
где А. € Ад ^ =В>*А£Г3- ,
Определение 0.1. Заданный на СП, ТУР) случайный процесс
^ ^(и>) = лс (-Р) , где 4г€ТГ , и>—('эсС*^4)вХХ,
назовем случайным блужданием в случайной среде (а.ьа,П Наиболее полно исследован случай, когда Н=2 ,Т=

верно неравенство ^ (определение см. в
доказательстве леммы 1.2.6^ . При этих 1а , как легко видеть, М{. 1с) ,М) невозрастает с ростом 1а . Очевидно, №/ по построению ^М (у> ^д^)).
Отсюда следует, что оо , так как
есть точка роста непрерывной монотонно неубывающей функции тОбС-[и/(ас.)-А/([П[и/^:Упос^(определение £,£ч/3 см. в доказательстве леммы 1.2.б) . Лемма 1.2.8 доказана
Доказательство леммы 1.3.3. Отметим прежде всего следующее свойство цепей Маркова:
Лемма 1.4.1. Пусть хТ) — однородная цепь Маркова с пространством состояний У , начальным состоянием Хоб АсУ и вероятностями перехода за один шаг из точки ЗС€ УГ » рав-ными ; пусть УА = &иС ,ЬПС=0,
^ь=мд.п,{4г>0:эсбУ€ Ь } ,гГс=тДжг(4г>0:
, пртаем Рзс{т'^)<ТГ^^> О, зс€ А , тогда условное распределение (ос СО), эс.(Д.У,...^ при условии, что
, совпадает с распределением цепи Маркова с пространством состояний , начальным состоянием ССф и ве_
роятноетями перехода за один шаг из ос £ А , равными
до момента первого выхода из А (здесь Р [д — распределение первоначальной цепи Маркова, начальным состоянием которой служит и).
В справедливости этого утверждения нетрудно убедиться прямым вычислением.
Обозначим А(кь,ос)={Л4[^+00)<А4(-00,-^)}. Из лем-