Предельные теоремы и статистические процедуры для величин, связанных с рекордами и экстремальными порядковыми статистиками

• Автор: Степанов, Алексей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 260 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 Введение главы

1.2 Основные понятия и обозначения, используемые в диссертации.

1.3 Важнейшие результаты, известные в теории порядковых статистик

1.4 Краткое содержание работы

2 Обобщения леммы Бореля-Кантелли

2.1 Введение главы

2.2 Недавние обобщения леммы Бореля-Ка.нтелли

2.2.1 Обобщения первой части леммы Бореля-Кантелли

2.2.2 Обобщение леммы Бореля-Кантелли для последовательностей событий, обладающих марковским свойством
2.3 Исследование асимптотических свойств максимумов в случае Рп-схемы .
3 Рекорды: распределения, предельные теоремы
3.1 Введение главы
3.2 Распределения рекордов
3.2.1 Распределения рекордных времен
3.2.2 Распределения рекордных величин
3.2.3 Распределения слабых рекордных величин в дискретном случае
3.2.4 Распределения слабых рекордных величин в случае, когда исходное
распределение имеет конечное число атомов
3.2.5 Распределения рекордов с подтверждением
3.2.6 Распределения рекордных времен с подтверждением
3.2.7 Моменты рекордных времен с подтверждением
3.3 Предельные теоремы для слабых рекордных величин в дискретном случае

Оглавление
3.3.1 Усиленный закон больших чисел, центральная предельная теорема и
закон повторного логарифма
3.3.2 Вероятности больших уклонений
3.3.3 Примеры
3.4 Применение теории правильно меняющихся функций для изучения асимптотического поведения отношений слабых рекордов
3.4.1 Вспомогательные результаты
3.4.2 Асимптотическое поведение отношений слабых рекордных величин .
3.4.3 Асимптотическое поведение индикаторов слабых рекордных величин
3.4.4 Примеры
3.5 Асимптотические свойства рекордов с подтверждением
3.5.1 Асимптотические свойства рекордных величин с подтверждением
3.5.2 Асимптотические свойства рекордных времен с подтверждением
4 Статистические процедуры, связанные с рекордами
4.1 Введение главы
4.2 Критерии проверки гипотезы однородности, основанные на рекордах
4.2.1 Введение
4.2.2 Совместное распределение величин ДМ, при справедливости нулевой
гипотезы
4.2.3 Распределения тестовых статистик
4.2.4 Распределения величин ДМ, и Иапк(У(17)) в случае справедливости
альтернативной гипотезы Лемана
4.2.5 Мощности тестов при альтернативах Лемана
4.2.6 Равномерно наиболее мощный тест, основанный на величинах ДМ, .
4.2.7 Альтернативные гипотезы сдвига
4.2.8 Тесты, в случае недостаточного количества рекордов
4.3 Информация Фишера, содержащаяся в рекордах
4.3.1 Введение
4.3.2 Абсолютно непрерывный случай
4.3.3 Информация Фишера, содержащаяся в слабых рекордных величинах
4.3.4 Информация Фишера, содержащаяся в верхних рекордных величинах
Оглавление

4.4 Тест, основанный на рекордах с подтверждением
5 Величины, регистрируемые около порядковых статистик и рекордов
5.1 Введение главы
5.2 Предельные теоремы для числа величин, регистрируемых около порядковых статистик
5.2.1 Распределения числа величин, регистрируемых около порядковых
статистик. Предельные теоремы для них
5.3 Асимптотические свойства числа величин, регистрируемых около порядковых статистик, при изменении параметров
5.3.1 Экспоненциальный случай
5.3.2 Асимптотическое поведение числа величин, регистрируемых около
порядковых статистик в случае, когда кп/п —> а =
5.3.3 Асимптотическое поведение числа величин в случае, когда а Є (0,1)
5.3.4 Асимптотическое поведение числа величин, регистрируемых около
порядковых статистик в случае, если а
5.4 Асимптотическое поведение чисел околорекордных величин
5.4.1 Распределения чисел околорекордных величин
5.4.2 Ограниченный носитель
5.4.3 Предельные теоремы для чисел околорекордных величин
5.4.4 Асимптотическое поведение сумм околорекордных величин
5.5 Примеры
5.6 Приложение главы 5
5.6.1 Доказательства результатов параграфа 5.
5.6.2 Доказательства результатов параграфа 5.
6 Серии, основанные на порядковых статистиках и рекордах
6.1 Введение
6.2 Предварительные результаты
6.3 Ограниченный носитель
6.3.1 Серии, основанные на спейсингах порядковых статистик
6.3.2 Серии, основанные на спейсингах рекордных величин
Глава 2. Обобщения леммы Бореля-Кантелли

Из лемм 2.1.3, 2.2.1 вытекает важное следствие.
Следствие 2.2.1. Пусть А1,А2,... - последовательность событий, удовлетворяющая условию Р(Ап) —¥ 0. Пусть также выполняются условия (2.1.2),

J2Р(АпА П+1) —

J2 [Р(Ю - Р(АпАп+1) < оо.

Тогда Р(Ап б.ч.) = 0.
Таким образом, равенство Р(Ап б.ч.) = 0 может выполняться и в случае, когда ряд Р{Ап) расходится. Примеры таких последовательностей приведем в последующих главах диссертационной работы, а также в этой главе в параграфе 2.3.
Следующий результат, также полученный в [207], вытекает из доказательства леммы 2.2.1.
Лемма 2.2.2. Пусть А, А2, ■ ■. - произвольная последовательность событий. Равенство Р(Ап б.ч.) = q € [0,1] справедливо тогда и только тогда, когда

I'111 У ' Р{А„Ап+j... An+k lAn+k) = q.
п—юо *

2.2.2 Обобщение леммы Бореля—Кантелли для последовательностей событий, обладающих марковским свойством
Результаты данного раздела получены в работе Степанова [227] ( Stepanov 2014). Здесь будут представлены технические обобщения леммы Бореля-Кантелли удобные для работы с цепями Маркова.
Определим последовательность событий, обладающих марковским свойством.
Определение 2.2.1. Мы скажем, что последовательность событий Ап (п > 1) обладает марковским свойством, если последовательность Ia„ (п > 1) является цепью