Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения

• Автор: Бойков, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I.Базовые модели дискретного времени
1.1.Введение
1.2.0сновные результаты
Глава Н.Базовые модели непрерывного времени
2.1.Введени е
2.2.0сновные результаты
2.3.Предельный переход от дискретных моделей к
непрерывным
Глава III.Обобщение модели Крамера-Лундберга на случай процессов Кокса и влияния экономической среды
3.1.Возмущение диффузией
3.2. Мод ели на основе процесса Кокса
3.3.Оценка платежеспособности в случае произвольных
точечных процессов
Глава IV.Инвестирование на финансовом рынке
4.1.Введени е
4.2.Модель Кокса-Росса-Рубинштейна
4.3.Модель Блэка-Шоулса
Заключение
Литература

Введение
В работе исследуется проблематика платежеспособности страховой компании на основе методов современной актуарно-финансовой математики, как в случае дискретного, так и непрерывного времени.
Договор страхования предполагает, что за определенную плату (премию) страховая компания (страховщик) берет на себя обязательство возместить возможные убытки клиента (страхователя). Основанием дня оплаты указанных убытков является полис страхования. Страховаться может достаточно широкий круг возможных убытков (рисков): автомобиль на случай кражи или аварии, имущество на случай пожара или стихийного бедствия, здоровье и жизнь. Помимо юридических и экономических аспектов перед страховой компанией неизбежно встают и чисто математические задачи: моделирование сроков подачи и размеров поступающих исков, адекватный расчет премии - если она будет слишком высокой, клиенты обратятся к услугам компаний-конкурентов, слишком низкой - появится существенный риск неплатежеспособности.
Выражаю благодарность своему руководителю в Математическом Институте им. В.А. Стеклова д.ф.-м. н. проф. A.B. Мельникову за предложенную постановку и внимание к работе.
В расчетах такого типа естественно использовать методы теории вероятностей, математической статистики, случайных процессов.
Применение математических методов в страховании имеет достаточно долгую историю. Например, (см. [18]) в страховании жизни ключевым параметром является остаточная продолжительность жизни - вероятность того, что индивид возраста х проживет по меньшей мере еще і лет, обозначаемая фх. Сила смертности определяется как Цх-ы = —^ПіРх- В 1724 году Де Муавр предложил считать 0 < Ь < и> — х, где и) - "максимально возмож-
ный" возраст на момент смерти (полагают равным 100-120 лет). К 1824 относят закон Гомпертца Дз+г = Всс+ь{В > 0, с > 1). В 1860 Мэйкхем постулировал /іж+і = А + Всхіі(А > О, В > 0, с > 1), откуда фх = ехр{—А1 + ]~сх(с1 — 1)), что хорошо согласуется с реальными данными. Данные законы о виде остаточного распределения жизни находили свое применение в работе пенсионных фондов. Помимо [18], проблематика страхования жизни подробно описана в книге [9].
В страховании "не жизни" используется два основных типа моделей: модель коллективного риска и модель индивидуального риска. В модели индивидуального риска рассматривается п полисов с независимыми выплатами Vь -.., ип; характерными чертами индивидуальной модели является сравнительно короткий промежуток времени, фиксированное и неслучайное количество договоров п.

2. Базовые модели непрерывного времени
2.1. Введение. Пусть параметр времени 1 принимает значения в К+. В этом случае говорят о моделях непрерывного времени. В качестве процесса, считающего количество поданных исков, обычно берут пуассоновский процесс с постоянной интенсивностью Л. Процесс премий - линейная функция времени. При таком описании капитал компании имеет вид:
Для вероятности неразорения р(х) = Р{Д(Д > 0 для всех £} справедлива
Теорема 7. [9] Если Е{у) е С’п[0,оо), то вероятность неразорения р(х) £ Сге_1[0,оо) и удовлетворяет интегро-дифференциалъному уравнению
Для экспоненциального распределения F(y) = 1 — решение данного интегро-диффференциального уравнения выписывается в явном виде
Для вероятности неразорения на конечном промежутке 0, s е [ОД]} справедлива

(2.1)

(2.2)
(2.3)