Гауссова аппроксимация в гильбертовом пространстве и асимптотические разложения

• Автор: Чеботарев, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 299 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. О ПОГРЕШНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ УСЛОВИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЧЕТВЕРТОГО МОМЕНТА
1.1. Введение. Основные результаты
1.2. Оценки характеристических функций в окрестности нуля
1.3. Подготовительные оценки
1.4. Оценка характеристической функции в окрестности единицы
1.5. Доказательство теоремы 1.1.
1.6. Вспомогательные утверждения для случая а ^
1.7. Доказательство теорем 1.1.2 и 1.1.
1.8. Обобщенная стандартная гауссовская случайная величина и
формула перехода
1.9. Вспомогательные результаты и оценка gn(t о)[
1.10. Оценка Pi,n(t;a) и разности gn(t;a) -g(t;a)
1.11. Доказательство теоремы 1.1.
Глава 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ТИПА БЕРГСТРЕМА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2.1. Основные утверждения
2.2. Оценка остатка в разложении типа Бергстрема для характеристических функций
2.3. Введение в проблему условий типа Крамера на поведение характеристических функционалов
2.4. Условия типа Крамера и щ2-статистика (1)
2.5. Оценка характеристической функции gn(t;a) в условиях
типа Крамера
2.6. Условия типа Крамера и ш2-статистика (II)
2.7. Доказательство основных утверждений главы
Глава 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ТИПА ЭДЖВОРТА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Введение. Основные результаты (I)
3.2. Переход от разложения Бергстрема к разложению Эджворта.
Основные результаты (II)
3.3. Вспомогательные утверждения
3.4. Доказательство основных утверждений главы
Глава 4. СРАВНЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ЭДЖВОРТА И БЕРГСТРЕМА В СЛУЧАЕ Н = К
4.1. Введение. Основные результаты
4.2. Оценки для разложения Эджворта
4.3. Оценки для разложения Бергстрема
4.4. Доказательство теорем 4.1.1 н 4.1.
Список литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ: Список .обозначений
ВВЕДЕНИЕ
0.1. В диссертации исследуются проблемы, связанные с уточнением центральной предельной теоремы в гильбертовом пространстве. Изучаемый круг задач относится к теории вероятностных распределений в линейных пространствах и находится на стыке функционального анализа и теории вероятностей. Важный вклад в исследование фундаментальных вопросов теории вероятностных распределений в линейных пространствах внесли А. Н. Колмогоров [123, 38], М. Frechet [116], E. Mourier [128], Fortet R., Mourier E. [115], Ю. В. Прохоров [67], В. В. Сазонов [71], Р. А. Минлос [44], А. М. Вершик, В. Н. Судаков [22, 23],
H. Н. Вахания [20], X. Fernique [113], А. В. Скороход [81], Х.-С. Го [24],
A. Araujo, E. Gine [90], С. В. Нагаев [47] и другие математики (здесь перечислены только некоторые из работ указанных исследователей).
0.2. Вопрос о погрешности нормальной аппроксимации в бесконечномерных пространствах возник в 60-е годы в связи с задачами математической статистики, а также в соответствии с внутренней логикой развития самой теории вероятностей. Первыми в этой области являются работы Н. П. Канделаки [37], В. В. Сазонова [148, 72], В. Ю. Прохорова и В. В. Сазонова [68], H. Н. Вахания и Н. П. Канделаки [21]. В [68, 72, 148] В. В. Сазонов и В. Ю. Прохоров рассматривали ш2-статистику как |n-1/2 X^=i^0|2> гДе “ независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями в пространстве 1/2[0,1], а | • | - норма в этом пространстве. Такое представление и послужило одним из важных толчков к изучению проблемы.
С тех пор в этой интенсивно развиваемой области математики получено большое количество результатов. Многие из них, описание методов исследований, применения в статистике, а также обзоры публикаций можно найти в книгах В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [64],
B. В. Сазонова [150], В. С. Королюка и В. Ю. Боровских [41], а также в статье В. Бенткуса, Ф. Гетце, В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [8, 92]. Однако после выхода из печати обзора [8, 92] (1990-91 гг.) появилось большое количество новых результатов по указанной тематике. Это, например, статьи В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [73, 152, 153], В. В. Сенатова [78, 80] В. С. Королюка и В. Ю. Боровских [125], В. Бенткуса, Ф. Гетце и Р. Зитикиса [93], В. В. Юринского [158, 159], С. В. Нагаева [131, 132], С. В. Нагаева и В. И. Чеботарева [59, 143], И. С. Борисова и Е. А. Соловьева [13], В. Бенткуса и Ф. Гетце [98, 100, 102], Ф. Гетце и
В. В. Ульянова [120] и др.
Отметим, что наиболее близкими по постановкам задач к настоящей диссертации являются статьи Б. А. Залесского [27], С. В. Нагаева [45 - 49], [129 - 132], Б. А. Залесского, В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [28], В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [73], В. Бенткуса и Ф. Гетце [98, 100], а также докторские диссертации В. В. Сенатова [79] и В. В. Ульянова [84].

0.3. Чтобы показать, какое место наша работа занимает среди других работ по аппроксимациям, связанным с центральной предельной теоремой в бесконечномерных пространствах (о проблемах, возникающих при переходе от конечной размерности к бесконечной, см., например, [8]), сначала отметим, что работы в этой области математики можно разделить, прежде всего, по признаку пространства, в котором принимают свои значения рассматриваемые случайные величины (случайные элементы). В настоящее время наиболее продвинутые результаты получены либо для гильбертова (обычно, сепарабельного и вещественного) пространства, либо для банаховых пространств. Следующий признак, по которому можно классифицировать работы, состоит в том, предполагаются ли случайные величины одинаково распределенными или нет. Затем, - являются ли они независимыми. Необходимо также принимать во внимание, на классе каких множеств сравниваются меры, порожденные суммами исходных случайных величин, с аппроксимирующими функциями множеств.
Согласно такой условной классификации настоящая работа относится к исследованиям по уточнениям гауссовской аппроксимации для независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. В качестве класса множеств рассматриваются шары с произвольными центрами. Полученные в работе равномерные относительно радиусов шаров оценки погрешности имеют явный вид. Особое внимание уделяется вопросу о том, какова форма зависимости погрешности от ковариационного оператора.
0.4. Следуя В. М. Золотареву [34, с. 225], можно условно классифицировать предельные теоремы для сумм случайных величин и оценок точности приближений по следующим уровням. Предельную теорему будем относить к первому уровню, если в ней нет оценок погрешности, ко второму, - если найдена зависимость от числа слагаемых п и моментов, но с невыясненными некоторыми другими зависимостями от исходных распределений (например, не найдена зависимость от ковариационных операторов). Третий уровень теоремы (или, просто, оценки) означает, что выявлены все зависимости от исходных распределений, но еще не оценены числовые константы. Сами оценки третьего уровня могут неограниченно уточняться в различных направлениях. Оценкой четвертого уровня будем называть оптимальную (в некотором смысле) оценку, в которой оценены и константы. Примером оценки четвертого уровня можно считать оценку Берри - Эссеена (см. [104, 111], а также [34, с. 228-229]) с константой, полученной в любой из следующих работ: [33, 91] или [88]. Заметим, что и этот результат обладает рядом недостатков, и нуждается в улучшении (см. [34]).
В соответствии с такой терминологией можно сказать, что в работе получены оценки третьего уровня. Здесь также исследуется проблема обобщения на бесконечномерный случай условия Крамера для харак-

[120. лемма 2.2] (в отличие от пашей оценки (1.5.48)). Кроме того, наряду с неравенством Эссеена используется так называемое неравенство Правитца [145]. Доказательство соответствующей оценки [120, лемма 2.10], в которой и появляется зависимость от 12 собственных чисел оператора Т, основано на лемме 8.4 [101, 102]. Заметим, что доказательство леммы 8.4 [101] занимает 22 страницы. Доказательство теоремы 1.2 [120], в которой появляется зависимость погрешности от 9 собственных чисел оператора Т, опирается на леммы 6.3 - 6.7, 7.1 [101, 102], в которых используются методы дискретизации и двойного большого решета.
Результаты (1.1.1), (1.1.12) дают оптимальную по п оценку Дцп(а) = 0{1/п) при условии
13 < сі < оо, сгіз ф 0.
Оценка (1.1.11) ослабляет это условие до
12 < Д < ОО, <712 Ф 0)
причем, как показывает пример из [120, с. 5], при 12 < о! < сю оценка Д = О не может зависеть меньше, чем от 12 первых собственнных значений оператора Т.
Мы частично решаем также проблему оценки погрешности ДііП(а) при аіфО, 7<1<11.
Обозначим
/Г|,(а),/8-1/2-£/ Г| Да)
Метод доказательства теоремы 1.1.2 позволяет получить следующую оценку.
Теорема 1.1.3 . Для любых а Є Н, целого 9 < I <12 и 0 < є < 1/
а2 у/г4^гіл'/8-1/2-е
Аі ,п(а)<с(/;£г)
лі/£) ’ п ~ ) + Я(а,п,г,е)
сГ4і9(а)
Несмотря на то, что зависимость от п в теореме 1.1.3 хуже, чем в оценках (1.1.10) - (1.1.12), результат этой теоремы может оказаться точнее указанных оценок, если параметр п фиксировать.
Сравнивая теорему 1.1.3, например, с оценкой (1.1.10) при а! > 9, в которой множитель С{Т) берется из (1.1.3), мы добьемся указанного эффекта, если выберем о/; ф 0 достаточно малым. Интересно, что даже оценка (1.1.11) может быть менее точной по сравнению с теоремой
1.1.3 при I — 11, если <7^ достаточно мало, а п фиксировано.
Из теоремы 1.1.3 непосредственно вытекает следующее утверждение.