Условия быстрого убывания функций концентрации сверток вероятностных распределений

• Автор: Елисеева, Юлия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление

§ 1. Введение

§ 2. Уточнение результатов Фридланда и Содина

§ 3. Уточнение результатов Рудельсона и Вершинина

§ 4. Уточнение результатов Вершинина

§ 5. Многомерное обобщение результатов Арака

§6. Об одном общем результате

1. Введение

История вопроса

Пусть X, Х,..., Хп,.., - независимые одинаково распределенные случайные величины с общим распределением Т = С(Х). Функция концентрации Леви случайной величины X определяется равенством
(Э(Г, А) = БирГ{[х,х + Л]}, Л ^ 0.
Функция концентрации является одним из основных объектов изучения в современной теории вероятностей. В частности, интересны оценки функций концентрации сумм независимых случайных величин. Классическими среди них являются неравенства Колмогорова-Рогозина [10] и Эссеена [16], полученные в 60-е годы прошлого века. Наряду с этой задачей интенсивно изучался ее частный случай. Пусть а = (оц,..., ап) € II", а ф 0. Нас интересует

поведение функции концентрации случайной величины ^ сцХ*, в зависимо-

СТИ ОТ арифметической структуры коэффициентов йк- В последнее время интерес к этому вопросу значительно возрос в связи с изучением распределений собственных чисел случайных матриц (см., например, [26]—[28], [32]—[34]). Авторы упомянутых выше статей (см. также [13], [20], [25]) называют этот вопрос проблемой Литтлвуда-Оффорда, так как впервые рассмотрением этой проблемы занимались Литтлвуд и Оффорд в 1943 году при изучении случайных полиномов [25]. В настоящей диссертации получены новые оценки в проблеме Литтлвуда-Оффорда. Также мы обсудим их связь с общими результатами.
Первый результат для функций концентраций взвешенных сумм был получен Литтлвудом и Оффордом [25]. При этом первые работы относились к случаю А = 0, то ссп, оценивалась максимальная вероятность того, что исследуемая сумма примет некоторое конкретное значение.
Предложение 1.1. Пусть X, Х,..., Хп,... - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения ±1 с вероятно-

стями 1/2. Пусть а — (aj,... ,ап) 6 Rn - вектор коэффициентов, причем

а*; Ф 0, |afc| ф I. Fa - распределение суммы ^ a^Xk- Тогда

= (1Л)
Здесь и далее мы будем использовать асимптотические обозначения О и о в предположении, что п —» оо.
Немного позднее Эрдёш [13] доказал, что выполняется следующее
Предложение 1.2. В условиях предложения 1.1 справедливо
«№..<« = о(^). (1.2)
Данная оценка является точной по порядку. Это легко увидеть, взяв а =
... = ап — 1. Однако Эрдёш и Мозер [14] показали, что данная оценка может
быть значительно улучшена в случае, когда все а* различны.
Предложение 1.3. Если все коэффициенты oi,..., ап различны, то
/ log П
Q(Fa,0) = О (-^3/2-)- (1-3)
Спустя некоторое время, Саркози и Семереди [31] показали, что логарифмический множитель можно убрать.
Предложение 1.4.
Увидеть, что результат точный, можно, взяв в качестве коэффициентов ai,..., ап отрезок арифметической прогрессии 1,..., п.
Введем некоторые обозначения. В дальнейшем Fa - распределение суммы

Sa = X) akXk, Еу - вероятностная мера, сосредоточенная в точке у, а G -
к= 1 ^
распределение случайной величины X, где X = Х — Х^ - симметризованная случайная величина. Обозначим
М(т) = т~2 J x2G{dx}+ J G{dx} — Е min [Х2/т2,1}, т > 0. (1.5)
|х|^т И>Т

+ J exp(—ca2p)<
при всех ||t|| ^ Vd, где N задастся формулой (1.24). Следовательно,
Q(Fa,Vd) J exp(-c72/? (Nt, t))dt
B(Vd)

B(Vd)
/ 1 d 1 о
7= ■ . — ■ + exp(-с a в).
4VP' Vdet N u ’
Воспользуемся теперь оценкой (2.18) для величины Р из доказательства теоремы 1.12, согласно которой /3 ^ М( 1)/4. Тогда
<№'Л) < что и требовалось доказать. □
Теперь сформулируем уточнения предложения 3.5, аналогичные следствиям 2.6 и 2.7.
Следствие 3.6. Предположим, что X, Х,..., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины. Пусть а = (а,... ,ап), € Rd, и для
некоторых a, D > 0 и 7 G (0,1) выполнено
71 2 J
^ У]((*, flfc) — то*)2) ^ min{7||i • а||, а}
t € Rd, ||t|| < D. (3.7)
Тогда
77) ^ (---------/ г v) —F=+exp (-ca2M(l)).
V Z> / Vd7 ум(1)7 /detN v '

Заметим, что, если (t,ak) <2 ||i[|2, как предполагалось в условии нред-

ложения 3.5, то множитель 7 =• < 1 и, значит, следствие 3.6 дает более
v det N
сильный результат по сравнению с предложением 3.5.