Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО

• Автор: Павлов, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 297 с.

Содержание

Список обозначений

Введение

1 Мартингалы со смешанной нормой

1.1 Общие определения и факты

1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последова-тельности а -алгебр

1.1.2 Теорема сходимости мартингалов

1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости

1.2 Случай специальной хааровской фильтрации

1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение)
^ 1.2.2 Характеризация пространств Харди, ВМО
и УМО
1.3 Случай диадической фильтрации

1.3.1 Оценки стохастических экспонент
1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей
1.4 Случай потока цилиндрических сг-алгебр
1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств
1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения
1.5 Пространства Ьр на бесконечномерном торе
1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности
1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Lp (Т°°) .
1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бесконечномерном торе
1.5.4 Винеровский процесс на Т°°
1.5.5 Гармонические функции на областях в Т°° .
1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой
2 Базисы и операторы в пространствах Ьр
2.1 Операторы условных матожиданий в пространствах Ьр
2.1.1 Связь между пространствами Ьр(Т) и операторами условного матожидания Е*

2.1.2 Структурные результаты о подпространствах LP{T)
2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp
2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты
2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского
2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Lp
2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp
2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой
3 Lp-теория на бесконечномерном торе
3.1 Диффузионные процессы на группе Т°°, функции
Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса
3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта
3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы
3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений
3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т°°
3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии

11/Hr) то равенство (1.5) доказано. Поскольку г < р, то отсюда сразу вытекает неравенство ||/||g < || |/| Ц^.
Обратное неравенство очевидно.

Перечислим основные свойства введенной нами смешанной нормы и пространства Lp.
1) Пространство Lp является банаховым идеальным пространством (т.е. если f £ Lp и д < |/|, то Ц^Цр < ||/||р).
2) Для произвольных с.в. fug справедливо неравенство Гелъдера:
E(fg)< ||/ЫЫ1«> l/p+l/q = l.
3) Если последовательность с.в. /„ такова, что 0 < /„ ^ / п.н. и f 6 Lp, то ||/„||р t ||/||р (1 < р < оо) .
4) Если fn,f€Lpufn—tf по вероятности, то справедливо неравенство ||/||р < lira inf ||/n||p (1 < р < оо) .
5) Если /„ > 0 п.н. (п = 1,2,...), то
II /»II# ^ UMf ll/»ll# С1 < Р < «>)•
6) Пусть (р 6 L (П X X), где X — пространство с о-конечной мерой /л. Тогда справедливо интегральное неравенство Минковского:
j| J ,x)dfx(x)\PtU < J \,x)\PiUdfj,(x), 1 <р< оо.

7) Пусть f — с.в. и I{f>N) — индикатор соответствующего события {|/| > N}. Тогда справедливо неравенство Че-