Асимптотические свойства систем линейных стохастических дифференциальных уравнений

• Автор: Рудомино-Дусятская, Ирина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 100 c. : ил

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКТЫ

ГЛАВА I. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

§ I. Общие определения

§ 2. Частичная устойчивость в среднем квадратическом

§ 3. Относительная устойчивость в среднем квадрати-

- ческом

§ 4. Общий анализ поведения в среднем квадратическом

решений систем стохастических уравнений

§ 5. Устойчивость решения стохастического дифференциального уравнения второго порядка

§ 6. Обобщения

Глава II. УСТОЙЧИВОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ I РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7. Общие вопросы устойчивости с вероятностью I систем линейных стохастических дифференциальных
уравнений
§ 8, Асимптотическое поведение решения уравнения колебаний второго порядка
СПИСОК 0СН0Ш0Й ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теория стохастических дифференциальных уравнений была основана в работах Гихмана И.И. [4,5,б] и Ито К. [12,13,14] и в дальнейшем развивалась многими авторами (см., например, список литературы в [и] ).
Теория стохастических дифференциальных уравнений содержала в частности и результаты аналогичные тем, которые имеются и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений: условия существования и единственности решения, характер зависимости решения от начальных данных или параметров, входящих в коэффициенты уравнений , исследование асимптотического поведения решения. Существовали также задачи, присущие только этой теории: вывод уравнения Колмогорова для вероятности перехода, исследование эргодических свойств, изучение вопросов абсолютной непрерывности мер, соответ-т ствуюцих решениям уравнений с различными коэффициентами [15,17, 18,19,28,32,33]
Во многих задачах, рассматриваемых в радиотехнике, в теории колебаний, в теории управляемых систем возникает необходимость учитывать случайные возмущения, воздействующие на систему (например, флуктуационяые токи, возникающие в радиотехнических системах в силу дискретности носителей тока и участии их в тепловом броуновском движении). Если невозмущенная система описывается некоторым (многомерным) дифференциальным уравнением, то возмущенные системы естественно описывать с пшощью стохастических дифференциальных уравнений. Одним из важнейших вопросов, который представляет интерес в прикладных исследованиях, является вопрос об устойчивости системы. Большой ряд работ посвящен вопросам устойчивости систем, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вопросы устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и общих марковских процессов, частными случаями которых являются решения стохастических дифференциальных уравнений, изучались в работах [I,2,7,8,9,22,26,27,32,33] . Особый интерес для практических приложений имеют линейные системы. Устойчивость линейных систем изучали Хасьминский Р.З. [зз] , Невель-сон М.Б. [24,2б] , Турчин В.Н. [29,30] , Беме 0. [з].
Исследованию устойчивости линейных систем стохастических дифференциальных уравнений посвящена настоящая диссертация.
В работе рассматривается линейная система стохастических дифференциальных уравнений следующего вида
с1х1. = Ах+сИ + ВхгЫ щ(Ь) , (О*1)
где к и В постоянные матрицы размерности П *(1 , AZft) - одномерный винерэвский процесс. Исследуются условия, при которых решение этой системы Х{(%) с начальным условием Х0(Х) = Х (в зависимости от X ) является устойчивым в среднем квадратическом (ср.кв.) и с вероятностью I.
В § I приводится определение устойчивости в ср.кв.системы (0.1) и получен критерий такой устойчивости.
Теорема 1.1. Для того, чтобы система (0.1) была устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица С>о , что
0(СНС+СА*+ВСВ**о.
В § 2 рассматривается случай, коцца решение системы (0.1) является устойчивым в ср.кв.при некоторых начальных условиях. Доказывается, что множество таких начальных условий образует ин-

Условие принимает вид Е-2Р*С>0 . Найдем точку локального экстремума р*
М'(р) = 2Ер + 2Е.
Следовательно^ р*-Р/Е . Так как -Р/Е&Н.О) , то
£<£< 0 . Найдем
М(/) = Е(-§)*+2Р(-£) , Так как М(р')>0 , то Я - ЕС>0 . Таким образом,второе условие имеет вид (1.24). Лемма доказана.
Итак, для тех , $, б > мя которых при некотором К выполняется неравенство (1.23) или система неравенств (1.24) система (І.І6) будет устойчива в ср.кв.
Пусть оС и р зафиксированы, у=о . Исследует область изменения тех б , для которых система (І.І6) будет устойчивой в ср.кв.
Укажем одно необходимое условие устойчивости в ср.кв. Если решение системы (І.І6) устойчиво в ср.кв., то при
. Для М0С± получаем уравнение
^ Мх[ =оСМХі + р М$і

(Мхг)- р(Мос±)' ~ <хМх± = О
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Его решение устойчиво тогда и только тогда, когда А<