Свойства самонормированных сумм случайных величин

• Автор: Жданов, Игорь Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Содержание
13 ведение
1 Слабая компактность самонормнрованных сумм независимых однотипных случайных величин
1.1 Постановка задачи
1.2 Вспомогательные леммы
1.3 Доказательства утверждений
2 Дополнительные сведения о слабой компактности самонор-мированных сумм однотипных случайных величин
3 Слабая компактность самонормнрованных сумм независимых многотонных случайных величин
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные леммы
3.3 Докасшелытва основных утверждений
4 Асимптотическая нормальность самонормиронанных сумм независимых случайных величин
4.1 Постановка задачи
4.2 Доказательства утверждений
5 Закон повторного логарифма для самонормнрованных сумм независимых случайных величин
5.1 Постановка задачи
5.2 Вспомогательные леммы
5.3 Доказательство теоремы 5.
5.4 Доказательство теоремы 5.

Заключение 7G
Литература 7G

Введение
Актуальнос ть темы. Данная работа посвящена исследованию асимптотических свойств самормированпых сумм независимых случайных величин. Само-нормировашше суммы естественным обрачом появляются при решении ряда ?адач мак'матпческой статистики и теории вероятностей. В качестве примера можно укачать на классическую статистику Стыодепта, в определение которой входит самонормироваипая сумма, построенная по независимым одинаково распределенным случайным величинам. Систематическое исследование свойств самонормированных сумм началось с выходом статьи Efrmi { jlj), посвященной исследованию асимптотических свойств статистики Стьюдспта при некоторых нестандартных условиях. С другими примерами и задачами, в которых возникают самонормировашше суммы, можно ознакомиться по обзорной статье Sh по ( 12]).
Одним из дополнительных мотивов исследований асимптотических свойств самонормированных сумм является стремление найти решение проблемы нормирования и центрировании в классических предельных теоремах /дли сумм независимых случайных величии. Проблема нормирования и центрирования возникла в тридцатые годы прошлого столетия и до сих пор не получила своего окончательного решения. Нормирование суммы случайных величин квадратным корнем из суммы киндралов слагаемых, как что делается для самонормированных сумм, частично продвигает решение упомянутой проблемы центрирования и нормирования. Последние три десятилетня ведутся интенсивные исследования самонормированных сумм независимых случайных величин. Для самонормированных сумм были доказаны несколько вариантов центральной предельной теоремы (Chiatynkov, Götze ( [3j). Егоров В.А, ([-1]). Маьоп, Zinn ([5])), многочисленные варианты закона повторного логарифма ( |б], )7], [8|, |9|). найдены необходимые и достаточные условия слабой

для любых случайных величин V с ЕV --- 0 и ЕУ’2 = о1. С помощью указанною неравенства

ад-Е X] (*£л«^>М1)77я(А)
и (3.6) мы получаем
Р{(/,,(Л) > 6-(с2 Л 1)а2(Л)} > Р{77„(Л) > Х<)-£йп(Х)}
- р{е77„(А) — 77„(Л) < (1 - б-)Ей„()}
=-1 - р{еГ7„(а) — 77„(Л) > (1 - ащ’)Е(7,,(А)|
> [ _ 1ь(77„(А) — е77,да))
Е(ПДА) - Ш„(А)Д + ((1 ~ А^)£У„(А))2 ((1 - АсУ2)Е7/,г(А))'
- Е((/„(А) - 1ШДА))2 + ((1 - ААДЕНДА))2’
Из того, что Е({/„(А) — ЕП„(А))2 -1- ((1 — А<У2)ЕП„(А)))2 < Е(//„(А))2 следует Р(С/„{А) > Л 1)„?,(А)} > (1 - А
Из (3.6) и (3.7) следует, что
(Е77„(А))- ^ 1 (Е! ] «и,.„(А)У-_
ПГ„() ' 1 + А(Е!л<„,,,(А))3'“1 + А-
Неравенство (3.4) и лемма доказаны.
Лемма 3.2. Если X > 0. А > 0, т,,п > 1 /(А<-^8(0)), I — 1удовлетворяют. условию
1 (. 1 41"’"

тогда
Р{Ц, > им У 1К(А)} < 1 - I I ( + 1 - ( 1 - ) ) . (3.9)