Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае

• Автор: Хохлов, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с.

Список основных обозначений
Глава 1. Формула суммирования Пуассона в применении к задачам теории
вероятностей
§1.1. Формула суммирования Пуассона и условия ее применимости
§ 1.2. Радиальные функции. Формула суммирования Пуассона для радиальных функций
§ 1.3. Равномерное распределение и примеры сходимости к равномерному распределению
§ 1.4. Применение формулы суммирования Пуассона в задаче оценки
близости к многомерному равномерному распределению
Глава2. Оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае
§2.1. Применение формулы суммирования Пуассона для оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае
§ 2.2. Оценка близости распределения вектора дробных частей гауссовских случайных векторов вй* к равномерному в кубе [0,1]8
§ 2.3. Оценка близости распределения вектора дробных частей гауссовских случайных векторов в И16 к равномерному в кубе [0,1]16
Глава 3. Свойства проекций распределения, равномерного на сфере вй'
§3.1. Распределение, равномерное на поверхности сферы в П.’, его проекции и характеристические функции
§ 3.2. Расстояние по вариации как мера близости распределений
§ 3.3. Неравенство Диакониса-Фридмана
§3.4. Нижняя оценка для интеграла рк
§ 3.5. Уточнение верхней оценки для расстояния рк
Приложение. Таблица точных значений числа целых точек на сферах и в
шарах в пространстве Л
Список литературы
Главный объект исследования данной диссертации — распределения векторов дробных частей случайных векторов в многомерных евклидовых пространствах. Основное внимание в ней уделяется условиям, при которых эти распределения близки к многомерному равномерному распределению. С этой целью рассматриваются две задачи.
Первая — задача оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае. Этой задаче посвящены первая и вторая главы работы.
Вторая — задача оценки близости ^-мерных проекций распределения, равномерного на сфере в з-мерном евклидовом простанстве, к распределению к-мерного вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины со стандартным гауссовским распределением. Этой задаче посвящена третья глава работы.
Первая глава носит вспомогательный характер по отношению к содержанию второй главы. В ней приведена сводка известных результатов, сформулированных вне связи с теорией вероятностей, поскольку главными аналитическими средствами, используемыми в первых двух главах настоящей работы, в основном, для оценки близости распределения вектора дробных частей гауссовского случайного вектора в з-мерном евклидовом пространстве 11“ к равномерному в кубе [0, 1]“, будут кратные ряды Фурье и преобразования (интегралы) Фурье в Л“, а также формула суммирования Пуассона.
Дается краткий обзор результатов теории вероятностей, в которых предельным служит одномерное равномерное распределение.
Приводится следующее теоретико-вероятностное истолкование многомерного варианта формулы суммирования Пуассона.

Пусть Х(„) = (Xi,X2 Xs) — случайный вектор, принимающий значения в R5, p(x(a);X(s)) (x(s) 6 R”) — функция плотности распределения вектора Х(„) и (t(s); X(aj) — ее характеристическая функция, а именно,
V(t(.);Xw)= / e,^t('>,x<‘^p(x(s);X(s))dx(s).
J R*
Если при некоторых А > 0 и 6 > О
р(х(»);х(,))«г (1 + |Х(в)|).+« и lv5(t(«);x(«))l< (T+|t^+»’

Е Р(т(») + x(i);X(s)) = Е e2*i(m<‘>-x«>V(_27rm(a);X(a)),
где ряд справа сходится абсолютно.
Ограничиваясь теперь только значениями Х(а) е [0, 1]а, в левой части этого соотношения получаем плотность распределения вектора {Х(а)} дробных частей вектора Х(а). Записывая правую часть этого соотношения в виде
1+ Е е2,г'(т(,>,Х('>)ф(_27гт(а);Х(в))
и принимая во внимание, что плотность распределения, равномерного в кубе [О, 1]“, равна единице в этом кубе и нулю вне его, отклонение распределения случайного вектора {Х(,)} от равномерного в кубе [0, 1]’ распределения можем измерять величиной
Д= sup |р(х(а);{Х(а)})-1|, не превосходящей, согласно приведенному выше соотношению,
Е |tp(-27rm(s);X(a))| = Е | V? (2тпт(в); Х(а)) |.
Таким образом, получая те или иные границы для суммы
Е И27гт(я);Х(з))|
абсолютных значений характеристической функции |<р(27гт(3);Х(3))| в точках вида 27гт(а), Ш(3) € Zs(a), можно количественно оценивать близость распределения вектора {Х(а)} дробных частей случайного вектора Х(а) к равномерному.
Нижняя оценка для интеграла Pk

значение аргумента равно 9,8. Поэтому берется меньшая по значению разность Р{xlo > 9,8} - Р{xio > 12} = 0,17315.
Таким образом устанавливается, что минимум по 1 (1 ^ 1 ^ 25) вероятности в формуле (47) не меньше 0,085.
б) Пусть теперь 1 ^ 26. Докажем следующее неравенство: при 1
Р{к + 2 - V2k/2 xl < к + 2} = Р{2(/ + 1) - Vl xll < 2(1 + 1)}
^ 0,94135 (Ф(0) - Ф(—1/2)) = 0,94135 (Ф(1/2) - Ф(0))
> 0,94135 х 0,19146 = 0,18023, (48)
где Ф(е) — функция стандартного нормального распределения.
Следствие, Из оценок пункта а) и (48) вытекает утверждение леммы 3. Доказательство неравенства (48). При к = 21 плотность вероятности xl равна
1 *е хI2 при х > 0, при х
р(*;х*)={>'г(0хГ Х<
Мы рассматриваем значения х из интервала
(k + 2-V2k/2,k + 2). (49)
Введем вспомогательные переменные
х-(к + 2) 1
V2k ’ 2**<0’
= 1 — z, 0 ^ z ^ тнТ~ГТ < ОД ПРИ 1^26.
2(7+1) “ ’ 2(1+1)
Переменные г и 1 связаны соотношениями
1+1 л/7 ,
‘ = “7Г’ ^-Т+1Ь
Дадим теперь нижнюю оценку для плотности р(х;х) в интервале (49). Очевидно,
2(1 + 1) Г(1) ч2(1 + 1)
= С,(1 - *)'е(,+1)г =С,е”М,