Статистические предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей

• Автор: Крыжановская, Наталья Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Основные обозначения

1 Скорость сходимости в центральной предельной теореме с самонормировкой

1.1 Статистический вариант центральной предельной теоремы

для векторных слабо зависимых полей

1.2 Скорость сходимости

2 Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций

2.1 Построение ядерных оценок в многомерном случае

2.2 Моментное неравенство

2.3 Слабая и сильная состоятельность ядерпых оценок

2.4 Взаимосвязь ядерпых оценок и статистик с локальным усреднением

3 Моментные и максимальные неравенства

3.1 Секционирование множеств
3.2 Моментное неравенство
3.3 Максимальное неравенство
Список литературы

Основные обозначения
— “положить по определению”;
N — множество натуральных чисел;
Ъ — множество целых чисел;
R — множество действительных чисел;
(v, и>) — скалярное произведение векторов v, w G Rfc; а V b = тах{а, 6}, для а, Ъ £ R; а Л Ъ = min{a, b}, для а, Ь 6 R;
| J| — мощность множества J;
<Э£У — граница множества U в метрическом пространстве; dist(/, J) — расстояние между конечными множествами 1 и J С ||сс|| — максимальная норма вектора х € Мг, I Е N;
It — единичная матрица порядка к (к > 1);
Ат — транспонированная матрица А;
1{М} — индикатор события М;
Lip(/) — липшицева константа функции /;
Е X — математическое ожидание случайной величины или вектора X; var X — дисперсия случайной величины Х
Увг X — ковариационная матрица случайного вектора Х cov(X, Y) — ковариация случайных величин X и Y
Cov(X, Y) — ковариационная матрица случайных векторов X и У;
a D
—> — сходимость по распределению;

>” — сходимость по вероятности;
U — совокупность всех целочисленных блоков в Ъл
Ck — класс ограниченных выпуклых множеств в Kfc;
М(п) — класс действительнозначных ограниченных покоординатно неубывающих борелевских функций на R", те € N;
ВС{п) — класс действительнозначных ограниченных линшицевых функций на R", те € N.

Доказательство центральной предельной теоремы (ЦПТ) при различных условиях является традиционной задачей теории вероятностей (см., например, [9,12,19,30,33,60]). Достаточно указать на труды Муавра, Лапласа, Чебышева, Маркова, Ляпунова, Линдеберга, Бернштейна, Прохорова, Колмогорова, Леви, Гнеденко, Ибрагимова, Петрова, Золотарева, Ширяева и других ученых. Это важное направление исследований имеет множество применений в статистике (см., например, [21,70]). В частности, ЦПТ используется для проверки статистических гипотез и построения приближенных доверительных интервалов для параметров моделей. При изучении векторнозначных зависимых полей в центральной предельной теореме приходится вместо дисперсии для нормировки вводить асимптотическую матрицу ковариаций частных сумм случайного поля (так называемую долгосрочную матрицу ковариации). Данная работа посвящена изучению свойств оценок этой матрицы для стационарных и нестационарных нолей. В случае, когда известно, что иоле стационарное, используются статистики с локальным усреднением. Если же нет предположения о стационарности, применяются ядерные оценки.
Прежде всего опишем структуру зависимости случайных полей, изучающихся в данной работе. Понятие независимости систем случайных величин является одним из основных в теории вероятностей. Для таких семейств случайных величин получено множество глубоких результатов (например, [18,30,37]). Однако в настоящее время имеется немало интересных стохастических моделей, использующих различные виды зависимых случайных величин. Это объясняется как красотой математических конструкций, так

Глава
Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций
Вторая Глава IIосвящена ядерным оценкам долгосрочной матрицы ковариаций для слабо зависимых и необязательно стационарных векторнозначных случайных полей. Установлена состоятельность этих оценок при достаточно слабых моментных ограничениях. При дополнительном условии на ядерную функцию доказана сильная состоятельность этих оценок. В последнем параграфе данной главы изучается взаимосвязь ядерных оценок и статистик с локальным усреднением, о которых шла речь в предыдущей главе.
2.1 Построение ядерных оценок в многомерном случае
Рассматривается поле (необязательно стационарное), состоящее из центрированных случайных векторов X — {Xj € 2^}. Пусть все элементы матрицы Е (см. (13)) конечны. Для построения оценок матрицы Е нам необходимо сформулировать некоторые определения.