Стационарные случайные блуждания на группах Ли и косые произведения

• Автор: Липатов, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Классификация коциклов со значениями в группах Ли малых рангов

1.1 Симметрические пространства и геодезическая граница

1.2 Барицентры мер на геодезической границе симметрических

пространств

1.3 Эргодические инвариантные меры коциклов

1.4 Классификация коциклов со значениями в полупростых

группах Ли вещественного ранга

1.5 Классификация СЬ(3, К)-значных коциклов

2 Классификация линейных коциклов
2.1 Структура эргодических мер
2.2 Линейное покрытие эргодической инвариантной меры
неприводимого коцикла
2.3 Классификация СЬ(1, К)-значных коциклов
3 Рекуррентность коциклов
3.1 Рекуррентность и ее свойства

3.2 Рекуррентность коциклов со значениями в полупростых
группах Ли вещественного ранга
Список литературы

Список обозначений
:= — «положить по определению»
# — мощность множества
mod 0 — «с точностью до множеств меры О»
В(Х) — борелевская сг-алгебра на топологическом пространстве X
/д(ш) — индикатор измеримого множества А
Р(Х) — множество борелевских вероятностных мер на X
supp /и. — носитель меры /г
N — множество натуральных чисел
Ъ — кольцо целых чисел
Ъп — кольцо целых чисел по модулю п
R — поле вещественных чисел
С — поле комплексных чисел
Н — тело кватернионов
О — алгебра октонионов
ЖРп — n-мерное проективное пространство над полем К.
Sn — группа перестановок п элементов
Ad — присоединенное представление группы Ли
ad — присоединенное представление алгебры Ли
Qx — стабилизатор точки х в группе Q
Nq{S) — нормализатор в группе Q множества S С Q
Zg(S) — централизатор в группе Q множества S с Q
© — прямая сумма линейных пространств
® — прямое произведение сг-алгебр
tx — полупрямое произведение групп
е — единица группы
Id — тождественный оператор, единичная матрица

c( u)

d(ui] cos(|/a(cj)) е(ш)зт(|/д(ш)) f(u>) sin(|/A(oj)) g(u)cos{%IA{uj))J

^a(u) d(u) e(w)^
0 b(uj) /(oj)
0 0 c(w) у
Доказательство. Многообразие KP2 PGL(3, К)-эквивариантно вкладывается в границу на бесконечности симметрического пространства PGL{3, К)/РР(3, К) (см. разд. 1.1), и по предложению
1.2.6 для меры д, € Р(КР2) существует единственный барицентр b{ji) £ PGL(3, K)/PU(3, К) тогда и только тогда, когда для любого проективного подпространства V С КР2 выполняется < 4iisK±l Рассмотрим произвольный коцикл А: О —> GL(3,К) и его эргодическую инвариантную меру д. на КР2 (см. разд. 1.3). По лемме 1.3.4 имеем, что либо цш({х}) = 0 для любого х € КР2, либо цш = ± Xi{a)) п.н. для некоторого ]V € N и некоторых случайных проективных точек ж*, i — 1,..., N. Рассмотрим возможные случаи.
1) Пусть мера — либо непрерывная, либо дискретная и N > 4. Если при каком-то и 6 Q найдется одномерное проективное подпространство V С КР2, такое, что fiu(V) > |, то оно будет единственным
подпространством, обладающим этим свойством. Поскольку множество
Е = {и | 3 V С КР2 : dim V — 1, цДУ) > -}

Т-инвариантно mod 0, то в силу эргодичности Т имеем следующие две возможности: