Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин

• Автор: Жукова, Галина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Проблема и ее история

1.2 Замечания о терминологии

1.3 Безгранично делимые распределения

1.4 Суммы независимых случайных величин

1.5 Основные результаты диссертации

2 СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3 СХОДИМОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ

3.1 Формулировка основного результата

3.2 Доказательство теоремы 3

4 СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ

4.1 Формулировка основного результата
4.2 Вспомогательные утверждения
4.3 Доказательство теоремы 4
5 СХОДИМОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
5.1 Формулировка основного результата
5.2 Вспомогательные утверждения
5.3 Доказательство теоремы 5
6 СХОДИМОСТЬ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА
6.1 Формулировка основного результата
6.2 Вспомогательные утверждения
6.3 Доказательство теоремы 6
7 СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ЛОМАНЫХ
7.1 Формулировка основного результата
7.2 Вспомогательные утверждения
7.3 Доказательство теоремы 7

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Проблема и ее история
Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п Є N = {1,2,...}, определены на вероятностном пространстве (£1, X, Р). Обозначим Бп = Хі + ... + Хп, 1ф2 = Х + ... + Х%- Требуется определить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений отношений й'п/К) когда п пробегает некоторую подпоследовательность натуральных чисел. Другая задача состоит в том, чтобы описать возможные предельные распределения упомянутых отношений.
Отношение вп/Уп не определено, если Кг = 0. Мы будем придерживаться следующего правила, когда требуется определить значение некоторой функции /(Хі Хп, Кг) при Кг = 0, полагая
Разумеется, указанное значение определено для тех функций, для которых предел справа существует. Все функции, которые встретятся в диссертации, имеют определенное значение при Кг = 0 в указанном смысле.
Потребность в решении поставленных задач диктуется логикой развития теории суммирования независимых случайных величин и потребностями в знании асимптотического поведения отношений Зп/Уп для решения многочисленных прикладных задач. В этой связи напомним классическую задачу, которая состоит в том, чтобы найти вещественные числа Д,йВ„> 0, п € IV, такие, что последовательность функций распределения сумм
слабо сходится к некоторой функции распределения. Решение этой задачи описано в монографиях [1] и [5]. В этих работах, в частности, указываются случаи, когда вместо нормирующих постоянных Вп можно взять случайные величины Уп, п Є N.
Из числа задач, имеющих необычайно широкое применение в математической статистике, мы укажем на задачу об отыскании распределения стаПХЬ... ,Х„,Кг)к=0 = Нт/№,... ,Хп,Уп + £). (1.1)
Є—>0
(1.2)

тистики Стьюдента. Она определяется следующим образом
т. -УК
" ^(п-«/(п- 1)'
Мы привели модернизированное выражение для Тп по сравнению с классическим определением.
Статистика Стьюдента впервые была введена в употребление в 1908 году в статье [42]. С тех пор она и ее различные модификации широко используются в математической статистике и при решении прикладных задач. С внушительным списком приложений статистики Стьюдента в математической статистике можно ознакомиться по учебнику [9]. Там, в частности, указывается, что распределение статистики Тп можно вычислить, если случайные величины Х,... ,Хп имеют общее центрированное нормальное распределение.
Если отказаться от предположения о нормальности случайных величин Х Хп, то распределение статистики Тп вычислить не удается. В этой связи естественно использовать приближенные распределения. В этом случае знание предельных распределений для Зп/У„, п 6 IV, может оказать существенную помощь.
Имеется целый ряд публикаций, посвященных исследованию свойств отношений вп/Уа, п & N. Предельные теоремы о слабой сходимости распределений указанных отношений при различных предположениях о случайных величинах изучались в статьях [2], [23], [25], [31], [32], [34], [36], [38]. В некоторых из перечисленных статей изучались также неасимптотические свойства отношений Зп)Уп, п е N. Так, в работах [17], [23] и [41] указаны неравенства, которые являются аналогами известного неравенства Берри-Эссеена. В статье [32] доказаны утверждения об отношениях^/У„, п е IV, напоминающие закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин.
Во всех упомянутых статьях, за исключением [2], рассматриваются независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п ^ N. В упомянутой статье [2] указаны условия слабой сходимости отношений5„/К, п 6 N, к нормальному распределению в предположении, что случайные величины Хп, п 6 ТУ, независимы и симметричны. Наиболее законченные результаты об отношении Зп1Уп, п Е N, получены в предположении, что общая функция распределения случайных величин Хп, п € ТУ", принадле-

5 СХОДИМОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
5.1 Формулировка основного результата
Пусть невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п € IV, определены на вероятностном пространстве (П, Р, Р). Обозначим вп = Х + ■ ■ ■ + Хп, = Х + • • • + Х%, п € N. В этой главе обсуждаются условия, при которых функции распределения отношений Д1/И1 слабо сходятся к нормальной функции распределения, когда п прибегает некоторую подпоследовательность натуральных чисел. В следствии
2.1 было доказано, что если при некотором подборе положительных чисел Вп, п 6 А, последовательность функций распределения сумм
слабо сходится к невырожденной симметричной нормальной функции распределения, то последовательность функций распределения отношений ,5'ТОп /Утп, п € А, слабо сходится к стандартной нормальной функции распределения.
При этом никакие условия на последовательность натуральных чисел тп, п € IV, не накладывались, за исключением того, что эта последовательность неограниченно возрастает.
Основной результат этой главы состоит в обобщении теоремы из статьи [31]. Там доказано, что последовательность функций распределения отношений 8п/Уп, п 6 А, слабо сходится к стандартной нормальной функции распределения тогда и только тогда, когда общая функция распределения случайных величин Хп, п е И, принадлежит области притяжения нормального закона и выполняется равенство ЕХ = 0.
Мы видим, что сформулированная теорема в части достаточности является частным случаем следствия 2.1. Ниже будет доказано, что упомянутая теорема из [31] в части необходимости допускает обобщение на случай, когда последовательность натуральных чисел возрастает не быстрее некоторой геометрической прогрессии. При доказательстве этого обобщения мы используем метод, развитый в упомянутой статье [31]. То новое, что привносится в рассматриваемом случае, связано со специальными свойствами последовательности натуральных чисел тп, п £ N.
Теорема 5.1. Пусть неограниченная последовательность натуральных чисел тп, п £ А, удовлетворяет условию 1 < тп+1/тп < С для некою,о-
(5.1)