Неравенства и предельные теоремы для последовательностей слабо зависимых случайных величин

• Автор: Утев, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 94 c. : ил

I. В диссертации исследуется предельное поведение распределений частичных.сумм последовательности слабо зависимых случайных величин со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе получены обобщения известных в случае независимых слагаемых неравенств для больших уклонений сумм и максимума частичных суш слабо зависимых случайных величин.
Во второй главе доказан ряд предельных теорем, связанных с аппроксимацией распределений частичных сумм случайных величин с перемешиванием нормальным законом. Здесь обобщаются теорема Хартмана - Винтера о законе повторного логарифма, центральная предельная теорема Линдеберга и принцип инвариантности Донскера - Прохорова.
В третьей главе обобщаются известные неулучшаемые оценки в принципе инвариантности для независимых слагаемых на слабо стационарные последовательности с равномерно сильным перемешиванием.
Основной целью диссертации является распространение известных в случае независимых слагаемых вероятностных неравенств и предельных теорем на суммы слабо зависимых случайных величин при сохранении таких же моментных ограничениях на отдельные слагаемые.
Основные результаты диссертации докладывались на ХУ Всесоюзной школе коллоквиуме по теории вероятностей (Бакуриани, 1981), на Ш-ей Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на Межвузовском семинаре по гауссовским процессам (Ленинград,1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики
СО АН СССР ; опубликованы в £35 ] - Г9Я]
Общий объем 92. страниц машинописного текста. Библиография 42 наименований.
2. Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации.
Пусть ^ ^ ~ последовательность случайных величин
со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и нулевыми средними, и |х| - соответственно скалярное произведение и норма в |-) . Через М ^ обозначим ь - алгебру, порожденную случайными величинами £., , а к I <= £ . Положим
- ьир 5,ир |р(В1-М-Р(6)| ,
Л = д: ,1, (и|= х е |
1~.( и } * С -'4

-^1-4 ~~ — I 4 ? J (б) “ 2-Ни|| | (О '[ Я К >•-
С ~ "I
^ 4/ / $[ь}-2.
(л[ч?,Ч-) - А + 2_ ^ в ^к)(/СЧ''Ъ>

Выписанный выше коэффициент ч?(»ч) - есть коэффициент равномерно сильного перемешивания (или ^ - перемешивания), который был введен И.А.Ибрагимовым ( Г133С23 ).
а) В первой главе приводятся неравенства для Ь (|
р( ( ,5‘к |>х).
4 - К,
В отличие от наиболее эффективного в случае независимых ела-
~Ч<Ь
I - 'I
ИК^к И‘=М
V; = Ч Vх
^к= 2_ гь ,{кт<ис I 2_ Ч| ,
1^-2к 1 = НК-Н
йк М* гИк е„е„ е;,

Заметим, что из построения и леммы 2.1.3 следует
Л у —За
ггк~к'г > Ч~кЧ 1 нк+<,~Лк ) Ии йкК - °“<
(< О^-
(Ц (Ак И /а=0°, &],, ~Я/ч- при ик^‘0|к^^1с.Н5
Ь ^Чс + л ^ £у,к ) а^-м
В силу построения для ВСЯКОГО И , И„. ь Ус МО , мы
^ У-Н
имеем
К -' и
Ч, = "Е Ч +" Е 54 + .Е У;
и" 1‘<