Асимптотические свойства статистик, основанные на выборках случайного объема

• Автор: Галиева, Нургуль Кадыржановна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение
1 О скорости сходимости для функций распределения асимптотически нормальных статистик, основанных на выборках случайного объема
1.1 Предварительные результаты
1.2 Отхеыки скорости сходимости для функций распределения асимптотически нормальных статистик, основанных на выборках случайного объема
1.3 Распределение Стыодента и распределение Лапласа
2 Асимптотические разложения для функций распределения статистик, основанных на выборках случайного объема
2.1 Предварительные результаты
2.2 Асимптотические разложения
2.3 Применение к распределению Стыодента и распределению Лапласа
3 Оценки для функций концентрации статистик, основанных на выборках случайного объема
3.1 Функция концентрации
3.2 Конкретные статистики
3.3 Выборки случайного объема
3.4 Случай распределения Стыодента и распределения Лапласа
3.5 Об оценивании функций концентрации регулярных статистик, построенных по выборкам случайного объема
Заключение
Литература

Введение
В классических задачах математической статистики объем выборки, доступной исследователю, традиционно считается детерминированным и в асимптотических постановках играет роль (как правило, неограниченно возрастающего) известного параметра. В то же время на практике часто возникают ситуации, когда размер выборки не является заранее определенным и может рассматриваться как случайный. Эти ситуации, как правило, связаны с тем, что статистические данные накапливаются в течение фиксированного времени. Это имеет место, в частности, в страховании, когда в течение разных отчетных периодов одинаковой длины (скажем, месяцев) происходит разное число страховых событий (страховых выплат и/или заключений страховых контрактов), в медицине, когда число пациентов с тем или иным заболеванием варьируется от года к году, в технике, когда при испытании на надежность (скажем, при определении наработки на отказ) разных партий приборов (изделий), число отказавших приборов в разных партиях будет разным. В таких ситуациях число наблюдений, которые будут доступны исследователю, и заранее не известное, разумно считать случайной величиной. Другими словами, в таких ситуациях объем выборки является неизвестным параметром, а сам становится наблюдением. то есть статистикой. В силу указанных обстоятельств вполне естественным становится изучение асимптотического поведения распределений статистик достаточно общего вида, основанных на выборках случайного объема.
На естественность такого подхода, в частности, обратил внимание Б. В. Гнеденко в работе [2], в которой рассматривались асимптотические свойства распределений выборочных квантилей, построенных по выборкам случайного объема, и было продемонстрировано, что при замене неслучайного объема выборки случайной величиной асимптотические свойства статистик могут радикально измениться. К примеру, если объем выборки является геометрически распределенной случайной величиной, то вместо ожидаемого в соответствии с классической теорией нормального закона, в качестве асимптотического распределения выборочной медианы возникает распределение Стыодента с двумя степенями свободы, хвосты которого столь тяжелы, что у него отсутствуют моменты порядков, больших второго. «Тяжесть» же хвостов асимптотических распределений имеет критически важное значение, в частности, в задачах проверки гипотез.
Простейшей статистикой является сумма наблюдений. Для выборок случайного объ-

ема число слагаемых в таких суммах само становится случайным и такие суммы называются случайными. Асимптотическим свойствам распределений сумм случайного числа случайных величин посвящено много работ (см., например, [1], [2], [6], [7], [8], [12], [14]). Такого рода суммы находят широкое применение в страховании, экономике, биологии и т.п. (см., [2], [4], [8], [14]). В классической статистике суммирование наблюдений как правило возникает при определении выборочных средних. При статистическом анализе, основанном на моделях, в которых объем выборки считается неслучайным, асимптотическое поведение статистик типа сумм и статистик типа средних арифметических одинаково - эти статистики после нормировки, обязательной для получения нетривиальных предельных распределений, становятся неразличимыми. Однако, как уже говорилось, в реальной практике очень часто объем выборки сам является статистикой, и, как недавно показано, например, в работе [33], асимптотическое поведение статистик типа сумм и статистик типа средних арифметических при их неслучайной нормировке оказывается различным. Заметим, что, конечно же, формально допустима и случайная нормировка, но для построения разумных асимптотических аппроксимаций для распределений статистик (а именно это н является целыо асимптотической статистики), она, неприменима. Именно использованием неслучайной нормировки и объясняется возникновение не «чистого» нормального закона, а смешанных нормальных предельных распределений у статистик тнпа сумм и типа средних арифметических. При этом различие этих предельных законов может дать дополнительную информацию о структуре исходных данных.
Более того, в математической статистике и ее приложениях часто встречаются статистики, которые не являются суммами наблюдений. Примерами являются ранговые статистики, {/-статистики, линейные комбинации порядковых статистик (//-статистики) и т.п.
Диссертация посвещана исследованию асимптотических свойств статистик, основанных на выборках случайного объема. Рассмотрены оценки скорости сходимости и асимптотические разложения для функций распределения статистик. Рассмотрены асимптотические аппроксимации для функций концентраций таких статистик. В качестве конкретных примеров рассмотрены два частных случая: распределение Стыодента и Лапласа.
В работе приняты следующие обозначения: К - множество вещественных чисел, N -множество натуральных чисел, Ф(ж), <р(о.) - соответственно функция распределения и плотность стандартного нормального закона.

Ряд в определении /2п (см. (1.8)) оценим с помощью Условия 1.1.

hn <с^ VamTn = к) = Сг EN-«.
(1.10)
Заметим, что оценка (1.10) справедлива и при х < 0. Для величины 71п для отрицательных х имеем (см. (1.3)и (1.4))
то есть и в этом случае справедлива оценка (1.9). Теперь утверждение теоремы следует из неравенств (1.6), (1.9) и (1.10). Теорема доказана.
1.3 Распределение Стьюдента и распределение Лапласа
Приведем два примера применения Теоремы 1.4, в которых предельная функция распределения G(x) является известным распределением.
1.3.1 Распределение Стьюдента
В работе [3] показано, что если случайный объем выборки Nn имеет отрицательно биномиальное распределение с параметрами р = 1/» и г > 0, то есть (при г = 1 имеем геометрическое распределение)
то для асимптотически нормальной статистики Тп справедливо предельное соотношение ([3] Следствие 2.1, стр. 426)
где 02, (х) - функция распределения распределения Стыодента с параметром 7 = 2г, то есть имеющее плотность вида
Р {р/п (Туп — д.) < х) —» Ст2г (хл/г) , п —» оо
(1.11)