Точные асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовских случайных процессов и полей

• Автор: Фаталов, Вадим Роландович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван, Москва
• Количество страниц: 120 c. : ил

ГЛАВА I. ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ

УКЛОНЕНИЙ ГАУССОВСКИХ ПОЛЕЙ

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Точные асимптотики распределения максимума

гауссовского неоднородного поля I

§ 3. Точные асимптотики распределения максимума

гауссовского неоднородного поля II

§ 4. Случай, когда дисперсия гауссовского поля достигает своего максимума на (П'1)-мерном компактном множестве в

ГЛАВА II. ТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК

КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

§ 5. Асимптотики предельных распределений статистик Колмогорова-Смирнова для параметрического семейства
§ 6. Асимптотики предельных распределений статистик Колмогорова-Смирнова в задачах проверки
гипотезы о независимости
§ 7. Дальнейшие примеры. Многопараметрическое броуновское движение. Распределение экстремальных значений статистики Колмогорова
ЛИТЕРАТУРА

К настоящему времени теория гауссовских случайных процессов и полей представляет собой весьма обширную область теории случайных процессов. Значительные успехи достигнуты в исследовании свойств регулярности траекторий гауссовских функций, в изучении распределения супремума траекторий, предельных теоремах и задачах типа пересечения уровня. Эти и ряд других направлений в теории гауссовских процессов достаточно полно освещены в обзорах
О], И.
Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств вероятностей больших уклонений гауссовских неоднородных случайных полей наиболее общего вида и исследование на этой основе асимптотического поведения статистик Колмогорова-Смирнова.
Проблематика, связанная с нахождением точной асимптотики вероятности Р{|Гг Х&) >и
при Ц — оо стала успешно разрабатываться с начала 70-х годов, после появления работы Д.Пиканд-сар/?]. В этой работе автор предложил эффективный метод изучения указанной вероятности для гауссовского стационарного процесса с правильно меняющейся в нуле ковариацией, однако при этом им были допущены принципиальные ошибки. Устранению этих ошибок и дальнейшей разработке метода были посвящены работы В.И.Питербар-га [ 11] > С.Бермана [д] , К.Кволса и Х.Ватанабе
Следующим естественным шагом стало обобщение этого метода на случай гауссовских однородных полей, выполненное Ю.К.Беляевым и
В.И.Питербаргом, ^"] и К.Кволсом и Х.Ватанабе, [Ц9]. Уже к тому моменту эти результаты для стационарных процессов и полей имели важное значение для прикладных исследований. Однако в многочисленных задачах математической статистики, теории надежности,теории приближения случайных процессов и других, возникают гауссов-

ские процессы и поля, не являющиеся стационарными, хотя в некотором смысле и близкие к ним. Речь идет о так называемых локально стационарных процессах и полях. Впервые такой локально стационарный процесс с постоянной дисперсией исследовал С.Берман в Ъ. В работе [] В.И.Питербарг и В.П.Присяжнюк изучили вероятность больших выходов гауссовского нестационарного процесса, дисперсия которого достигает абсолютного максимума в конечном числе точек и регулярно ведет себя в окрестностях этих точек. Локальная стационарность в данном случае означает, что в этих окрестностях корреляционная функция процесса близка к корреляционной функции некоторого стационарного гауссовского процесса (из изученного уже класса). Настоящая диссертация представляет собой продолжение исследований в этом направлении. В ней найдены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений определяемых ниже локально стационарных гауссовских полей, дисперсия которых достигает своего максимума на произвольном компактном множестве в^ .В рассматриваемый класс гауссовских случайных полей входят помимо полей с дифференцируемыми траекториями также и поля, выборочные функции которых непрерывны, но недифференцируемы. К последним относятся, например, винеровские и связанные с ними процессы и поля, диффузионные гауссовские процессы и т.д. - их примеры будут даны ниже, в кратком обзоре диссертации.
Важное значение имеет задача нахождения поправочных членов к асимптотике вероятности Р{Г/ТХА)Ч .« . Для
достаточно гладких в среднем квадратическом гауссовских полей
В.И.Питербаргом разработан метод (метод сравнения), позволяющий получить асимптотические разложения для этой вероятности,[Ч2], [щ]. В случае не дифференцируемых процессов и полей вопрос отыскания поправочных членов остается открытым. Даже скорость сходи-

где хСц)^ о, и — со
Пользуясь тем, что суммирование производится по тем @ , для которых Кг(4)ПЪ*Р , и, следовательно <4 можем записать . <гАеь
• №„ (КП4^Унуи)Х «р{-игсрлС4г,Т'^' (2'г4>
■ <зКп?У4Г <£ 1.
В силу равномерной непрерывности функций У^Ск^Уо) И («МСХ^А^) на КгМ зависимости в (2.18) между и Д и леммы 2.1, имеем для любого £>0 , достаточно больших и , всех ±еКМ
0-~£)^-> 5 е*А-и(с+и) Рд^Л“)^ |^[)бЬ^)|с/1; 4 - Кг^4)
(2.25)
~^ек?{-и С^Я а с ,Т~ ) 11 <МА е)| п (XС Сй ))
^ £ Кг(4)
Учитывая леммы 2.2, 2.3, неравенства (2.19), (2.22)-(2.25) вместе с (2.4) имеем для любого £>0 и достаточно больших Ц :
У-£)ИаУ(У) ( «р|- и2(1+£) •

• | <1«С&.±)|^ -2Г1*** Р{ хл)> о}

(2.26)