Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок

• Автор: Малиновский, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание
Предисловие
Список обозначений и сокращений
I Модели случайной замены времени для опционов
1 Введение
1.1 Обзор опционных моделей
1.2 Описание используемых данных
2 Метод статистического оценивания процесса случайной замены времени
3 Модель случайной замены времени на основе неоднородного негауссовского процесса Орнштейна-Уленбека (модель ЬБ-ЮЫ)
3.1 Аналитические свойства модели ЬБ-ЮЬГ
3.2 Вычисление цен опционов в модели ЬБ-ЮЬГ
3.3 Оценка параметров модели ЬБ-ЮЫ
3.4 Сравнительный эмпирический анализ модели ЬБ-ЮЬГ
4 Модель случайной замены времени на основе "экспоненциально-
пуассоновского" процесса (модель ЬБ-ЕР)
4.1 Аналитические свойства модели ЬБ-ЕР
4.2 Вычисление цен опционов в модели ЬБ-ЕР
4.3 Сравнительный эмпирический анализ модели ЬБ-ЕР
II Модели случайной замены времени для рисковых облигаций
1 Введение
1.1 Обзор моделей рисковых облигаций
2 Основная модель
3 Обобщенная модель
Список литературы

Предисловие
Данная диссертация посвящена вероятностным моделям финансовых инструментов и методам статистического анализа их цен. В данной работе рассматриваются два важных с практической точки зрения класса финансовых инструментов - опционы и рисковые облигации.
Опцион является разновидностью производной ценной бумаги. Производной ценной бумагой, или деривативом (derivative security, derivative; здесь и далее - англ.), называется ценная бумага, стоимость которой зависит от значений каких-либо, базовых по отношению к данной ценной бумаге, переменных [67]. Базовыми переменными производных ценных бумаг могут быть курсы акций и валют, значения индексов, уровни процентных ставок, цены товаров, индикаторы событий (например, события банкротства некоторой фирмы в течение определенного промежутка времени) и многое другое, включая цены других производных ценных бумаг.
Рассмотрим некоторые из широко используемых на практике видов опционов.
• Европейские опционы "колл" (call) и "пут" (put). Европейский опцион "колл" - это ценная бумага, дающая право купить некоторый актив, называемый базовым активом данного опциона, в определенный момент времени Т, называемый сроком исполнения1, по заранее оговоренной цене К, называемой ценой исполнения или страйком (strike price). Функция выплат такого опциона, определяемая как чистая прибыль или чистый1 убыток его держателя в момент исполнения, имеет следующий вид:
Wc (ST; К, Т) = max (ST -К, 0), (1.1)
где St - цена базового актива2 в момент времени Т.
Европейский опцион "пут" - это ценная бумага, дающая право продать некоторый актив в определенный момент времени Т по заранее оговоренной цене К. Такой опцион имеет функцию выплат
Wp (ST; К, Т) = шах (К - ST, 0).
’Здесь и далее предполагается, что время измеряется в годах, если явно не указано иное.
2Многие контракты такого типа в настоящее время не имеют под собой каган о-либо "осязаемого" актива, который можно было бы купить или продать. Примером такого контракта является опцион на индекс. В этом случае, согласно условиям договора, продавец опциона обязан в момент времени Т выплатить его держателю сумму денег Wc (St; К,Т), определяемую согласно соотношению (1.1), где St - значение базовой переменной опциона в момент времени Т.
В дальнейшем мы, как правило, будем опускать детали практической реализации рассматриваемых опционов, работая в терминах соответствующих им функций выплат, дающих удобное с математической точки зрения их описание.

Поскольку фзгнкции выплат опционов обоих вышеописанных типов неотрицательны при ST > 0, приобретение любого из этих опционов требует уплаты некоторой положительной суммы денег контрагенту (продавцу) в момент заключения сделки. Данную сумму денег принято называть премией за опцион или ценой опциона.
• Американские опционы "колл" и "пут". Наряду с европейскими широкое распространение получили американские опционы "колл" и "пут", отличающиеся от европейских тем, что их держатель имеет право предъявить их к исполнению (т.е. совершить покупку или продажу актива по указанной в контракте цепе) в любой момент времени по своему выбору в пределах крайнего срока, указанного в контракте. Функции выплат опционов данных типов имеют следующий вид:
Wc (ST; К, Т) = max (ST — К, 0) - для опциона "колл",
WP (5Т; К, Т) = шах (К — ST, 0) - для опциона "пут", где т <Т - момент предъявления опциона к исполнению.
Европейские опционы "колл" и "пут" мы в дальнейшем для краткости будем называть простейшими европейскими, американские - простейшими американскими, а оба эти класса в cobokjhihocth - простейшими. Простейшие опционы первыми в современной истории экономических отношений начали активно использоваться широким кругом экономических агентов, и они остаются одним из наиболее популярных и востребованных классов опционов в наши дни. Вместе с тем, в последние десятилетия вес более широкое применение начали находить' другие виды опционов, функции выплат которых зачастую весьма сложным образом зависят от цен одного или нескольких активов в один или более моментов времени. Данные опционы получили общее название экзотических. Описанию и изучению экзотических опционов посвящено большое количество работ, среди которых мы отметим монографию [116].
Помимо опционов, распространенные сегодня классы производных ценных бумаг включают в себя фьючерсные (futures), форвардные (forward), своповые (swap) и другие виды контрактов. Для ознакомления со всем разнообразием используемых в настоящее время производных ценных бумаг рекомендуется обратиться к классической монографии [67].
Производные ценные бумаги применяются во многих сферах экономических отношений и играют фундаментальную роль средства перераспределения риска, дохода и капитала как между экономическими агентами, так и во времени. Приведем несколько примеров применения производных ценных бумаг.

данной модели по эмпирической опционной структуре на момент времени
вт (U) = arg mm F (©”*; tz),
(2.1)

E ( (К, Т, (i.); t.) - , Tj (ti); 0m ) ) +

+ Е 1 Ртаг (К, Ъ (*,) ; *() - а?"1 Ъ ; 9"
Следуя сложившейся практике, для оценивания параметров модели мы используем только ОТМ-опционы "колл" и АТМ- и ОТМ-опционы "пут"24 как более ликвидные и "чувствительные" к изменению параметров модели по сравнению с другими категориями опционов [33]. Необходимость нормировки цен исполнения и "теоретических" цен опционов вызвана сделанным нами во введении предположением 5 (0) = 1, а сам ее вид вытекает из очевидных тождеств
Е [шах (5Т - К, 0) | Ft]
Е [шах (К - ST, 0)| Ft]

(St_K (с С’

На втором этапе предлагаемого метода оценка 0т () параметров 0™ модели т принимается в качестве истинных значений параметров модели и фиксируется, а в качестве свободных параметров рассматриваются сроки до исполнения торгуемых
опционов:

л М (£,
Тт (i.) = (тр (*,))
(2.2)
M(U)
с(тът2

Е (bnar (К, 7) (Ц) ; *) - С';С”‘ (A Tjf; 0m fa)) ) + V °i
+ Е ГР’паг (К, 7} (Ъ) ; *) - Сфт (0т (*,)) )
{К<г,(ц)1 ' х 1 7
Отметим, что несмотря на то, что оптимизация в задаче (2.2) выполняется по открытому множеству 0 < Т) < 72 < ... < Тм(<(), минимум целевой функции в данной задаче на практике всегда достигается, т.к. промежутки времени между сроками
24Опц1гоп "колл" называется опционом "out-of-the-money" (ОТМ-опционом), если его цена не-полнения К превосходит текущую форвардную цену базового актива со сроком поставки, равным сроку исполнения опциона (К > Fj (£)), а опцион "пут" - если К < Fj (£). Как опцион "колл", так и опцион "пут" называется опционом "at-the-money" (АТМ-опционом), если К = Fj (t) [33].