Закон больших чисел в банаховом пространстве

• Автор: Норвайша, Римас Альфонсович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Вильнюс
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

§1. Тип ( р , I > ^ ) и другие классы пространств

§2. Основные свойства пространств типа (р , ъ ,

§3. Характеризация типа ( р , г , Ср ^ неравенствами для сумм независимых ІВ -с.в

ГЛАВА II

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Слабый закон больших чисел

§2. Закон больших чисел относительно квазинорм

§3. Закон больших чисел для разнораспределенных

слагаемых
ГЛАВА III
СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§1. Скорость сходимости для одинаково распределенных
слагаемых
§2. Скорость сходимости для разнораспределенных
слагаемых
Литература

Одним из важнейших утверждений в теории вероятностей и, в частности, в теории вероятностных распределений в банаховых пространствах является закон больших чисел. Наряду с законом повторного логарифма и центральной предельной теоремой, закон больших чисел (з.б.ч.) в банаховых пространствах находит свое применение как в математической статистике так и в математической физике.
Первым утверждением такого рода является результат Я.Берт-нулли^опубликованный в »Ars Соrijectano^i " 1713 r.j и относится к последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события одинакова. Следующим отметим результат Ф.Хаусдорфа (1913, [75]j сближающий
з.б.ч. с другими предельными теоремами теории вероятностей в смысле нормировки: пусть Х^ » Хг ,... - независимые случайные величины (с. в.) имеющие распределение P{X; = ±l} = Р{ Lm n~4l?ZL X; - о) -- (о л)
для любого 0< р < Z .В случае р = 1 соотношение (О. I) доказал З.Борель {1909, [49]]. Законченный вид этот результат получил в работе Марцинкевича и Зигмунда (lS37, jjoÖjj. А именно соотношение (o.l) для независимых одинаково распределенных с. в. и некоторого 0 < р < £ выполняется тогда и только тогда когда конечен момент E|XjP И ЕХ4= 0 при 4.6 р< 2, . В случае р=4 этот результат получен А.Н.Колмогоровым (1930, [93]).
Более слабым чем соотношение (o.l) является утверждение
Об этом соотношении и шла речь в выше упомянутой книге Я.Еера в
нулли. В случае р = 4 А. Н. Колмогоровым (1929, [91] • И), более общем случае В.&зллером (1937, [б4]|, доказано, что выражение (0.2] имеет место для независимых одинаково распределенных с.в. и некоторого 0 < р < 2, тогда и только тогда когда
От п. Р {|ХЛ > гИ'РЬо
ПО *

йт -Ьо1 X* ^ = 0 , при р <2.(0.з)
Необходимые и достаточные условия для (0.2) выраженные через характеристическую функцию с.в. X* содержатся в работах [61] и [бв]
Другим направлением исследования з.б.ч. можно считать нахождение условий сходимости к нулю нормированной суммы относительно метрик. Так например в монографии Ревеса [И?}» наряду с выше упомянутами видами сходимости, исследуется сходимость в среднем, т.е. сходимость средних арифметических значений в пространстве |_;> • Хорошо известно (см. например стр. 32 в [117]) , что вообще говоря сходимость в среднем несравнима со сходимостью с вероятностью единица. В этом смысле интересным является результат Пайка и Бута [пб], утверждающий, что соотношение (ол) выполняется тогда и только тогда когда имеет место равенство
Ьт Е Л? £ X; Р = О . (0.4)
П-*оо * = 4 4 >
Здесь уместно привести аналогичную характеризацию соотношения (0-2) полученную в работе [17]. А именно, равенство (0.2] эквивалентно таму, что

Л Ве ® рл,р ;
2) Ь’.ОВ) =• Л/иМр(1В);
3) |_?*(В) = ШМр(В; II- II Р,Д.
Доказательство. I] =Ф 2). Ввиду следствия 1.2 можно пред-пологать, что 1В -с.в. X - симметрична. Пусть г ,^>0 произвольные числа. Так как простые функции плотны в пространстве 1_р^(1В) , то существует конечномерное подпространство |Е<^1В такое, что ||%(Х)Ир,<^ , где 7Г,р
факторотображение пространства 1В на 1В / Р и постоянная с из моментного неравенства характеризующего класс .
Пользуясь следствием 1.3.5 получаем оценку
р1!%(5я(Х))»1Б/1р>^/р],
< *.'ра*11%(6Л(Х))1|^ 4 се-Р ||5Г1Р(«1|Д* 5-,
Поэтому последовательность распределений
(Л (а КР6П (*))) „
плоско сконцентрирована (см. стр. 279 в [З93 или стр. 23 в [4з]^. Так как для любого функционала е 1В> * с.в. (X) &
р(_1К.4)(см. теорему 4.1 в [ш] при с^<ьо) , то по теореме 2.4 в [39] заключаем, что
Импликация 2) 3^ для < оо следует из предложения
2.1 а в случае - оо - из теоремы 1.7.
Осталось доказать импликацию 3^ =£> I]. Пусть симметричная 1Б -с.в. X £ 1_ Обозначим через
НрСУ) - ^р4 гг Гогда (Мр(1Ь) > NрС ' )) - квазибанахово пространство
предположения следует включение