Некоторые статистические критерии и их свойства в моделях многомерного гауссовского анализа

• Автор: Кашицын, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Содержание
Введение
Благодарности
1 Многомерная гауссовская модель с зависимыми наблюдениями
1.1 Вспомогательные средства матричной алгебры
1.2 Матричные алгебраические модули
1.3 Распределение Ушнарга
1.4 Модель зависимых наблюдений с ковариационной структурой. заданной в виде произведения Кронексра двух положительно определенных матриц
1.5 Оценивание параметров М, Е и Фр: частный случай
1.6 Оценивание параметров М, Е и Ф : общий случай
1.7 Линейная гауссовская модель с зависимыми наблюдениями .
1.8 Проверка линейных гипотез в модели с зависимыми наблюдениями
1.9 Однофакторпый дисперсионный анализ
2 Функции мощности инвариантных критериев в многомерном гауссовском анализе
2.1 Инвариантные критерии при проверке линейных гипотез
2.2 Инвариантные критерии при проверке гипотез о зависимости многомерных признаков
2.3 Гипотеза Олкина-Перлмана и стохастический порядок случайных векторов
2.4 Монотонность функции мощности инвариантных критериев, являющихся функциями от элементарных симметрических многочленов
2.5 Монотонность функции мощности инвариантных критериев, являющихся усеченными суммами собственных значений
3 Конические гипотезы в многомерном гауссовском анализе
3.1 Матричный конус и его свойства
3.2 Обобщенный матричный конус и его свойства
3.3 Проекции на матричные конусы
3.4 Конические гипотезы
3.5 Критическая статистика в случае матриц С}, Е, заданных с точностью до неизвестных множителей
Основные обозначения
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Многомерный статистический анализ — это раздел математической статистики, который изучает многомерные наблюдения. В гаусеовком анализе также делается предположение о том, что распределение многомерных наблюдений, или векторов, является нормальным.
Проблемы, связанные с проверкой гипотез в многомерном гауссовском анализе, исследуются учеными с момента оформления этой науки в самостоятельную область в первой половине 20-го века. Основополагающие результаты в этой области были получены P.A. Фишерсм. С.С. Уилксом, С.Н. Роем, М.С. Бартлеттом. Г. Хотеллингом.
Результаты исследований того времени были подведены к 60-м годам 20-го века в монографиях С.Н. Роя, 1957 и Т.В. Андерсона, 1963. В монографии Т.В. Андерсона линейные модели были изложены в форме регрессионного анализа без общего понятия линейных моделей и линейных гипотез. Общее понятие линейной модели и линейной гипотезы было недавно предложено Ю.Н Тюриным, 2010.
Проблемы, связанные с проверкой гипотез в многомерном гауссовском анализе, включают в себя следующие задачи:
• Проверка многомерных гипотез о наличии линейных связей между математическими ожиданиями наблюдений (линейные гипотезы);
• Проверка многомерных гипотез о наличии связей типа неравенств между математическими ожиданиями наблюдений (конические гипотезы);
• Проверка гипотез о независимости мненомерных признаков (гипотезы о структуре ковариационной матрицы).
В ходе многолетних исследований были выработаны основные требования, предъявляемые к критериям, которые могут быть использованы при проверке гипотез в многомерном гауссовском анализе:
• Инвариантность критерия по отношению к аффинным преобразованиям наблюдений, у которых сдвиги не меняют гипотетическое множество;
• Свобода критерия от неизвестных параметров модели при гипотезе.
Следствием условия инвариантности оказывается то, что статистические критерии должны быть функциями от собственных значений произведений матриц, распределенных по Уишарту. Свобода распределения от

параметров модели при гипотезе для таких критериев достигается автоматически. Изучению свойств распределения Уитпарта посвящены работы Дж. Уишарта. С.С. Уилкса, А.Т. Джеймса и других.
В последние годы привлекают к себе внимание многомерные задачи, наблюдения в которых не являются независимыми, но имеют заданную ковариационную структуру. М.С. Сривастава, Д. фон Розен и Т. Нахтман, '2008 решили задачу оценивания параметров модели, в которой совместная ковариационная структура наблюдений задастся в виде произведения Кронекера двух положительно определенных матриц. В 1-й главе настоящей диссертации для описанной структуры зависимых наблюдений была разработана теория линейных моделей. Эта теория, естественно, включает оценивание неизвестных параметров.
Во 2-й главе исследуется свойство монотонности функции мощности инвариантных критериев, возникающих при проверке гипотез в моделях многомерного гауссовского анализа как для независимых наблюдений, так и для зависимых наблюдений с заданной ковариацинной структурой. В 1980 г. И. Олкии и М.Д. Перлман сформулировали гипотезу о монотонности функции мощности инвариантных критериев, верность которой в общем виде до сих пор не доказана и не опровергнута. В настоящей диссертации доказана монотонность функции мощности для широкого класса инвариантных критериев. Этот класс включает в себя все основные известные критерии, которые используются в прикладных задачах. Полученные результаты обобщают соответствующие результаты С.Н. Роя, 1961. Т.В. Андерсона. 1964. И. Олкипа и М.Д, Перлмана. 1980. П. Гроснбума и Д.Р. Труа, 2000.
В последние десятилетия интенсивно развивается теория проверки гипотез о положении с ограничениями типа неравенств. Вначале данные гипотезы рассматривались как альтернативные к нулевым гипотезам в линейных моделях. Однако в приложениях часто возникают самостоятельные задачи, когда требуется проверить гипотезу о принадлежности параметра некоторому заданному выпуклому конусу. Теория конических гипотез в одномерном случае разрабатывалась такими учеными как Т. Робертсон, Ф.Т. Райт и Р.Л. Дэйкстра. Однако единого подхода к проверке многомерных конических гипотез в гауссовском случае до сих пор разработано не было. В 3-й главе настоящей диссертации вводится понятие многомерного матричного конуса, и с его помощью решается задача о проверке многомерных копичсских гипотез в той общности, которая достаточна для решения прикладных задач.
Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теоретической точки зрения, и имеет практическую значимость.
Цель работы
Цслыо данной диссертации является исследование новых свойств статистических критериев, возникающих при проверке линейных и конических

является состоятельной оценкой параметра Ф. Принимая во внимание лемму 1.3. получаем, что если обратимая случайная матрица Ф является состоятельной оценкой параметра Ф. то случайная матрица
(1-17)
‘ fc=-i
является состоятельной оценкой матрицы Е.
Обозначим Хгс = Хг — X, ? <== 1, N. Пусть также Xlc = (Х,с1, X',tî). где Х,г1 е Х,щ € 1RP.
В работе М.С. Сриваставы. Т. Натхмап, Д. фон Розена. 2008 система уравнений (1.16) и (1.17) получена иным, более трудоемким способом. Также с использованием условия (1.8) показано., что

Х>'Zjè-'Xlcg = Np. (1.18)

Окончательно, используя так называемый "флип-флоп"алгоритм и метод максимума правдоподобия, авторы указанной работы получают следующее утверждение:
Утверждение 1.8. Пусть матрицы Е и Ф удовлетворяют системе уравнений (1.16), (117), (1.18). Если N > max(p,q), то существует единственное решение данной систелш, и оценки наибольшего правдоподобия (ОНП) параметров Е, Ф единственны.
1.7 Линейная гауссовская модель с зависимыми наблюдениями
Рассмотрим набор р-мерных наблюдений ад,.... х„. Из данных р-столбцов составим случайную (р х п)-матрицу
X = {х1,х2, ■ ■ .,хп).
Будем предполагать, что совместное распределение случайных векторов Х.. .., хп является нормальным и подчинено закону:
X ~ Np,n(M. Е,Ф), где параметры модели М, Ф и Е определены следующим образом:
М — EX = (Exi, Ex2,..., Ехп),
Cov(xlt Х}) = 'IpijE, i. j = 1. 77..
Предполагается, что матрицы Ф и E являются положительно определенными.
Покажем, что распределение матрицы X' с помощью линейных преобразований можно сделать свободным от параметров Ф и Е, а именно имеет место следующая теорема.