Предельные теоремы для стохастических моделей взаимодействующих частиц

• Автор: Высоцкий, Владислав Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 142 с.

1 Модель слипающихся частиц

1.1 Описание модели

1.2 Постановка задач

1.3 Результаты

2 Марковская модель движения в случайной среде

2.1 Мотивация

2.2 Описание модели

2.3 Постановка задачи и формулировка результата

3 Структура диссертации. Благодарности

I Модель слипающихся частиц

Содержание главы I

1 Описание модели и ее применений в астрофизике
1.1 Описание модели
1.2 Применения слипающихся частиц в астрофизике
2 Начальное изучение системы слипающихся частиц
2.1 Метод барицентров
2.2 Масштабирование начальных данных
2.3 Связь между равномерной и пуассоновской моделями
3 Анализ процесса слипания в холодном газе
3.1 Начальное изучение: применение метода барицентров
3.2 Локальность процесса слипания
3.3 Свойства времен слипания
3.4 Времена слипания в пуассоновской модели
3.5 Применения локальности процесса слипания
4 Закон больших чисел для числа кластеров в холодном газе
5 Предельная функция a(t) в законе больших чисел для числа
кластеров в холодном газе
5.1 “Частичные плотности” и непрерывность G(t)
5.2 Свойства “частичных плотностей” и дифференцируемость G(t)
5.3 Дифференциальное уравнение на G(t)
6 Функциональная центральная предельная теорема для числа
кластеров в холодном газе
6.1 Доказательство для н.р.-модели
6.2 Доказательство для равномерной модели
7 Результаты о числе кластеров в холодном газе в критический
момент t = 1
8 Процесс слипания в теплом газе
9 Предельное поведение кинетической энергии газа
9.1 Условие существования макроскопического кластера
9.2 Предельная теорема для кинетической энергии газа
10 Компьютерное моделирование процесса слипания
II Марковская модель движения в случайной среде
Содержание главы II
11 Модель Лоренца и ее марковское приближение
11.1 Описание марковского приближения модели Лоренца
11.2 Вывод МПМЛ-модели из положений модели Лоренца
11.3 Сравнение МПМЛ-модели с моделью Лоренца
12 Функциональная центральная предельная теорема для положения частицы. Начало доказательства
12.1 Положение частицы при п-м столкновении

12.2 Сведение доказательства к утверждениям о цепи Ф„
13 Сведения о цепях Маркова
13.1 Определения и обозначения
13.2 Теоремы
14 Изучение свойств цепи Маркова Ф„
14.1 Неприводимость, апериодичность и феллеровость
14.2 Проверка условия Ляпупова-Фостера
14.3 [/-равномерная эргодичность. Инвариантная мера цепи
14.4 Конечность экспоненциальных моментов скоростей при
столкновениях Vn и времен между столкновениями тп
15 Окончание доказательства функциональной центральной предельной теоремы для положения частицы
15.1 Доказательство соотношения (15)
15.2 Определение констант с, и cv
15.3 Доказательство соотношения (16)
Заключение
Литература

минимума в (28) не положительны,

>t}< pj^min^ ^ ^(/с - і) (Xj+i+1 - t2) + X,+, - t2 > 0 j = I?/ min —'i + l)(Xj — t2) > 0І
{l v І—1 y
Мы утверждаем (не делая каких-либо предположений о моментах X,),
Pft,n > t} < Р{ sup * > (31)

в котором, напомним, t > 1. Ясно, что нам достаточно проверить
/ min 'У (Si — it2) > о С { sup
і<к<п/2^ ) Ц>*=а„ г 2
Если предположить обратное, то из неотрицательности приращений Si мы получаем
п/2 СП п/2
О < y(Si - it2) = У (Si - it2) + У (Si-it2)
І=1 г = 1 i=cn+1
n/2 / 1 I /2 .
< y(Scn-it2)+ У (і it2)
1=1 i=cn+l
где с := ^г- Оценив последнее выражение при помощи
(сп)2 2 (п/2)2 — (сп)2 £2 — 1 С2 о 1/4 —с2 I2 — 1
СпБсп - —г - 1---1 <
2 2 2 — 2 2
мы приходим к противоречию, поскольку, как несложно проверить, правая часть отрицательна.
Теперь из (30), (31) и факта 3.1 получаем
РК",>0 = Е»(МЯ = »(1)