Предельные теоремы и оценки скорости сходимости в теории экстремальных значений

• Автор: Новак, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 228 с.

Введение
ТеориящкстремалБных-значений-является-одним- из-наиболее -динамично-раз- — вивающихся разделов теории вероятностей и математической статистики. Её истоком можно считать классическую теорему Пуассона об асимптотике распределения числа редких событий; ряд задач имеет более глубокую историю (см., к примеру, Муавр (1738), задача LXXIV).
Актуальность исследования асимптотических свойств распределений экстремальных значений связана с приложениями в страховом деле, финансах, метеорологии, гидрологии (см. Эмбрехтс, Клюпельберг, Микош (1997), Бейрлант, Гогебер, Тойгельс, Сегерс (2004)). К примеру, популярной мерой риска, используемой крупнейшими банками, является VaR (экстремальная квантиль). Задача оценивания вероятности выхода за высокий уровень имеет приложения в страховом деле.
Основы современной теории экстремальных значений заложили в начале 20-го века Мизес (1923, 1936), Фреше (1927), Фишер и Типет (1928), Гнеденко (1943). Работа де Хаана (1970) завершает классический период развития теории, посвящённый изучению распределений экстремальных значений в последовательностях независимых одинаково распределённых случайных величин.
В то время как классическая теории экстремальных значений имеет дело с последовательностями независимых одинаково распределённых с.в., финансовые приложения часто демонстрируют зависимость наблюдений. Это делает актуальным изучение асимптотических свойств распределений экстремальных значений в последовательностях стационарно связанных случайных величин.
Значительный вклад в развитие теории экстремальных значений для последовательностей стационарно связанных случайных величин внесли Ньюэл (1964) и Лойнес (1965), которые фактически ввели понятие экстремального индекса. Дальнейшее развитие теории связано с работами Бермана (1962), Лидбеттера (1974), О’Брайена (1974, 1987), Мори (1977), Хсин (1987) и др
Хсин, Хюслер и Лидбеттер (1988) установили, что предельным распределением одномерного эмпирического точечного процесса выходов за высокий уровень, учитывающего месторасположение экстремумов, является сложно-пуассоновское распределение. Это связано с тем, что в последовательностях зависимых случайных величии экстремальные значения появляются кластерами, и распределение числа редких событий слабо сходится к сложно-пуассоновскому закону.
Мори (1977) показал, что класс распределений общих процессов выходов за высокий уровень в последовательностях стационарно связанных с. в. богаче класса сложно-пуассоновских процессов. Хсин (1987) охарактеризовал предельное распределение общего двумерного процесса выходов за высокий уровень в последовательностях стационарно зависимых случайных величин в терминах двумерных точечных процессов.
Диссертация посвящена исследованию асимптотики распределения случайных величин и процессов, возникающих в теории экстремальных значений для после-

довательностей стационарно связанных с.в.. Рассматриваются такие задачи, как характеризация класса V предельных распределений общих точечных процессов, "возникающих в теории_экстремальныхдначений, оценивание скорости-сходимости в соответствующих предельных теоремах, статистическое оценивание характеристик распределений, рассматриваемых в теории экстремальных значений, установление нижних границ точности оценивания характеристик распределений.
В диссертации получена характеризация распределений двумерных точечных процессов из класса V в терминах одномерных точечных процессов, описаны свойства распределений из класса V, установлены свойства маргинальных распределений.
Важную роль при изучении асимптотики распределения экстремальных значений играет задача установления оценок скорости сходимости в соответствующих предельных теоремах. Вопрос является нетривиальным даже в случае теоремы Пуассона. Многие известные авторы работали над указанной задачей, в том числе Прохоров (1952), Лекам (1965), Серфлин (1975), Чен (1975), Шоргин (1977), Барбур и Иглсон (1983), Барбур и Холл (1984), Деовельс и Пфайфер (1986, 1988).
Асимптотику расстояния по вариации в теореме Пуассона в случае независимых одинаково распределённых случайных величин установил Прохоров (1952). Роос (2001) получил оценку точности пуассоновской аппроксимации в терминах расстояния по вариации с неулучшаемой константой. Однако вопрос о точности сложно-пуассоновской аппроксимации долгое время оставался открытым, равно как и вопрос о точности пуассоновской аппроксимации в ряде задач теории экстремальных значений для выборок случайного объёма. Решению этих задач посвящена одна из глав диссертации. Указанные задачи имеют приложения в страховом деле при изучении распределения размера максимальных выплат страховыми компаниями.
В статистике экстремальных значений основное внимание уделяется задачам оценивания характеристик распределений с тяжёлыми хвостами. Актуальность указанной тематики связана с приложениями к финансам и страховому делу, где наблюдения зачастую оказываются зависимыми, а их распределения имеют тяжёлый хвост.
Основной характеристикой распределения с тяжёлым хвостом является показатель скорости убывания хвоста распределения. Оценка показателя скорости убывания хвоста распределения входит в конструкцию оценок экстремальной квантили и вероятности выхода за высокий уровень в последовательности стационарно связанных случайных величин.
Экстремальная квантиль широко используется банками как мера финансовых рисков. Один из методов определения страховых ставок также основан на использовании экстремальных квантилей.
В последние десятилетия тематика оценивания характеристик распределений

с тяжёлыми хвостами развивается весьма интенсивно (см. Хилл (1975), Холл (1982), Хойслер и Тойгельс (1985), Голди и Смит (1987), Декере, Айнмаль, де
Хаан-(-1989) ,-ЭмбрехтсгКлюпельберггМикош-(-1997-)г-Бейрлан-тт.Готебер,АГойгельс,
Сегерс (2004). В диссертации предложены новые оценки показателя скорости убывания хвоста распределения, экстремальной квантили, вероятности выхода за высокий уровень, доказана их состоятельность и асимптотическая нормальность при минимальных ограничениях на коэффициенты перемешивания, построены пода-симптотические доверительные интервалы, предложен алгоритм выбора управляющего параметра непараметрических оценок. Полученные теоретические результаты, алгоритм выбора управляющего параметра и результаты тестирования на моделированных и реальных финансовых данных свидетельствуют в пользу предложенного подхода, в то время как ранее известные подходы оказались неудовлетворительны (см. “ужас оценки Хилла” [326], “ужас оценки максимального правдоподобия” [122], стр. 357, 365, 406, и [232, 231)).
Важным направлением в статистике экстремальных значений является тема нижних границ точности оценивания характеристик неизвестного распределения.
Этой тематике посвящены работы Холл и Вэлш (1984), Донохо и Лиу (1991),
Пфанцаль (2000), Дреес (2001), Бсйрлант, Буко, Веркер (2006). Однако имеющаяся литература даёт лишь частичное решение указанной задачи: найден порядок скорости убывания нижней границы, асимптотическая нижняя граница выводится при ограничениях на класс рассматриваемых оценок.
В диссертации впервые получены неасимптотические нижние границы точности оценивания характеристик распределений с тяжёлыми хвостами, выявлены соответствующие информационные функционалы.
Многие оценки в статистике экстремальных значений входят в группу статистик, являющихся самонормированными суммами (СНС) случайных величин.
Таковы ряд оценок показателя скорости убывания хвоста распределения, экстремального индекса, элементы конструкции оценок экстремальной квантили и вероятности выхода за высокий уровень. Группа СНС статистик включает также статистику Стьюдента, ядерную оценку функции регрессии, оценку функции интенсивности отказов.
Раздел статистики, связанный с самонормированными суммами случайных величин, интенсивно развивается в последние десятилетия (см. Чун (1946), Эфрон (1969), Малер (1981), Славова (1985), Холл (1987), Бенткус и Гётце (1996), Жиме,
Гётце, Мэйсон (1997), Шао (1997), Чистяков (2001)).
В диссертации получены оценки скорости сходимости в ЦПТ для распределений самонормированных сумм независимых и стационарно связанных случайных величин; решена долго остававшаяся открытой задача получения оценок скорости сходимости с явными константами; показано, что в неравенстве типа Берри-Эссеена для статистики Стьюдента константа не может быть лучше, чем 1 //2е;

ГЛАВА 1. ВЫБОРОЧНЫЙ МАКСИМУМ
Положим
пт = min{n : к(п) = m} , Nm = пт+1 - 1.
Тогда £m>i хт) < оо, и лемма Бореля-Кантелли влечёт R*Nm(rn) <
хт для всех достаточно больших т с вероятностью 1.
Если пт < п < пт+1, то к(п) = т. Следовательно, для всех достаточно больших т
К < Кт <хт = аск(п) + + 77Ц lnlnfc(n) (п.н.).
2лу(1с) л(ас)
Таким образом,
limsup Уп/1п1п/с < 1/А(ас) (с в. 1).
гг—> оо
Чтобы показать, что
limsup Уп/1п1пА; > 1/А(ас) (п.н.),
п—»оо
обозначим
Rm = max Q(m),
71тп 1 —ттг
и заменим е на — е в определении хт. Поскольку Rm < и k{Nm) = m,
достаточно доказать, что
1Р(Лш > жтб.ч.) = 1.
Очевидно, Rm = Ялг, (ттг), где IV* = Пт+1 ~ Пт — тп. Заметим, что
N,P(Sm > xm) > C2m~l(Inт)~ш
Те же аргументы, что при доказательстве утверждения 1.27, влекут YmLi IP(C((m) хтСо(т) > хт) < с3. Используя (1.53), получим Ntb(m,x) > C4m_1(lnm)_1+e, и (1.23) влечёт т>!1Р(Ят > Хт) = ОО. Заметим, ЧТО С.В. {Rm} независимы. По лемме Бореля-Кантелли, ПДЯщ > жтб.ч.) = 1, и (1.31) следует.
Докажем теперь (1.32). Согласно утверждению 1.27, если /3(п) | оо, то
liminf Zn/Р{п) <0 (с в. 1).
71—»ОО
Положим
хт = аст — (lnm)/(2A(ac)) — (1 + e)(lnlnm)/A(ac).
Мы покажем ниже, что £т>! < Хт) < оо. Тогда по лемме Бореля-Кантелли
Rnm > хт для всех достаточно больших т с вероятностью 1,
К > Кт >хт = аск(п) - (lnfc(n))/(2A(ac)) - (1 + e)(lnlnfc(n))/A(ac),