Исследование асимптотического поведения вероятностей больших отклонений траекторий гауссовских нестационарных процессов и полей

• Автор: Присяжнюк, Владимир Прокофьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 c. : ил

Глава I. Асимптотика распределения функционала максимума для гауссовского нестационарного про
цесса

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Леммы сравнения

§ 3. Асимптотика вероятности больших выбросов

§ 4. Асимптотика вероятности больших выбросов.

Обкцй случай

Глава II. Исследование вероятности больших размахов

траекторий гауссовских стационарных процессов

§ 5. Формулировка основных результатов

§ 6. Свойства корреляционной функции поля приращений

... ■ ■
§ 7. Леммы сравнения
§ 8. Доказательство основных теорем 5:1, 5
§ 9. Оценка двойной суммы
Глава III. Выбросы за высокий уровень гауссовских
случайных полей
§10. Основные определения
§11. Условные поля
§12. Слабая сходимость
§13. Функционал выхода за уровень гауссовского
поля
.§14. Связь между максимумами и функционалом
превышения уровня
§15. Хвост распределения максимума
Литература
- ВВЕДЕНИЕ
Изучение распределений функционалов типа супремума от случайных процессов и полей является важной задачей теории случайных процессов. Представляет интерес применение к решению этой задачи развитых в последнее время асимптотических методов в теории гауссовских процессов.
Целыо работы является изучение асимптотического поведения распределения функционалов супремума, размаха и времени пребывания реализаций гауссовских процессов и полей. Получение точных асимптотик для распределения упомянутых функционалов, и методы их вывода могут быть использованы в математической статистике, теории надёжности, теории шероховатых поверхностей, при оценивании неровностей после обработки высокоточных поверхностей, а также для дальнейшего развития асимптотических методов в теории гауссовских процессов. В работе впервые получены точные асимптотики для вероятностей больших уклонений широкого класса гауссовских нестационарных процессов, найдена точная асимптотика для вероятностей большого размаха, реализаций гауссовских стационарных процессов, исследовано распределение времени пребывания за высоким уровнем гауссовского локально стационарного поля. Для этих целей разработана методика исследования больших выбросов гауссовских нестационарных процессов и полей.
Перейдем к краткому изложению основных результатов настоящей работы и близких результатов, полученных ранее.
Работа состоит из 3 глав, включающих в себя 15 параграфов.

Нумерация теорем, лемм и формул ведется по параграфам.
В 1-и главе выводятся точные асимптотики для распределения функционала супремума нестационарного гауссовского процесса.

П-я глава содержит вывод точных асимптотик для функционала размаха гауссовского стационарного процесса.
Ш-я Глава IIосвящена аналогичной задаче для супремума локально-стационарного гауссовского поля.
В 70-х годах появились работы о нахождении точных асимптотик распределения максимума гауссовского процесса с правильно меняющейся корреляционной функцией в нуле. В основе методов в этих работах лежит идея о том, что для гауссовских процессов с корреляционной функцией вида
^ftH-eH|4Gil)+oûi^L(U0), i-о (o.i)
где С>0, oL>0 7 L - медленно меняющаяся в нуле функция, существует такая функция V'-VC(jljcL-)j )У-*?<=х=> при 66-* , что случайные процессы на отрезках, разделенных
интервалом, много большим, чем V~1 , асимптотически независимы при условии, что они пересекают уровень 66 или находятся вблизи него.
Приведем здесь один из таких результатов, который используется в диссертации.
Теорема 0.1 (Кволс, Ватанабе [4б] ; Беляев, Питербарг ).
Для вектора t-C-fc tn)e R"
положим
III К Л jT
1-tL-srfc )
L-1
^ = = , 6=r j K.
Пусть для однородного сепарабельного гауссовского поля te Rh со средним 0 и ковариацией ^(Ь) существуют невырожденное линейное преобразование С пространства R и числа ,
такие, что
'Z-(C'i)— A- Itl^ -to O'bloc) . t->o
Тогда для любого измеримого по Жордану множества AcR

Далее
Р &
^Р{ 7°ф^к}.
В силу однородности поля ^ и леммы 1.3 имеем
£{ р| С>и%
**** ГТи- '“.и
"'^кбСо.тС^^^крСи.^Г'] к>а-°4 ]
= 4!«к Ы-)Иы.,л(Т(ЭСкГк‘/)(^ + ^)). и.--«,
где .
к - р-£ Г 14ч ий-г^И)
В случае с^-Л имеем,
р йг ! - р 1Й "5«. „г “• *«з
I Ъ,1 £ д/^д1
пг мол. £ +
~Р| °1£ч6А|<°ЛЗ. >и-а-*‘1
= Кц^Ж^кМ+ого), ,
где произведены замены
^м,*д ^±!±1«-^т- <~ =5 -1, , -4,1 =
^ V* •}коЪ<,м1 ЧА°
к--1Ш^,тк.г;тЩ|1г
Для нижней оценки имеем Д-т " '
й «г !г, ^;)=р („,^5 ^>*. г; I.