Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа

• Автор: Бояринцева, Наталья Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Глава 1. “Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов.”

§1. Сведения из функционального анализа

§2. Сведения из теории вероятностей

§3. Элементы дискретного стохастического анализа

Глава 2. “Одна задача управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием”.

§1. Кумулянта и ее свойства

§2. Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты

§3. Описание управляемой модели. Оценка стратегии, функция 34 Веллмана.

§4. Вывод уравнения Веллмана

§5. Разрешимость уравнения Веллмана

§6. Существование е-оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и с-оптимальных стратегий. Эквивалентные 47 стратегии.
§7. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий. 55 Заключение по главе 2
Глава 3. “Представление ^-измеримых случайных величин и свойства оптимальных стратегий”.
§1. Описание множеств эквивалентных вероятностных мер, связанных с уравнением Веллмана
§2. (5, т, Л)-представление ^-измеримых ограниченных случайных 71 величин.
§3. 5-представимость Г^-измеримых ограниченных случайных 76 величин.
§4. е—(5, т, Д)-представимость Р^-измеримых ограниченных случай- 86 ных величин.
§5. е — 5-представление ^-измеримых ограниченных случайных ве- 91 личин.
§6. (д5) и (д5 — 1/^-представление Ддг-измеримых ограниченных случайных величин.
§7. Условия оптимальности и с-оптимальности стратегий
§8. Расчет опциона Европейского типа
Заключение по главе 3
Заключение (Основные результаты, которые выносятся на защиту)
Список основных обозначений
Список литературы

1.Теоремы о представлении мартингалов являются одними из важнейших утверждений в теории случайных процессов, имеющие приложения в общей теории случайных процессов [20,24,51,10], в теории стохастического оптимального управления [40,46,54], стохастической финансовой математике [22,27,37,10], статистике случайных процессов [23].
Данная диссертация посвящена построению нескольких видов представлений мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.
2.Перейдем к обзору результатов, относящихся к теореме о представлении мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.
В работах [42,20,24,51] содержится фундаментальная теорема об интегральном представлении мартингалов в виде стохастических интегралов. В них показано, что любой локальный мартингал, согласованный с фильтрацией, порожденной непрерывным справа семимартингалом, допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда вероятностная мера, заданная на траекториях указанного выше семимартингала является крайней. В работах [52,20,22] содержится критерий Б-представимости для локальных мартингалов, в том числе в том числе и для дискретного времени.
В работах [42,50,13] в предположении, что процесс (Я,)^
является семимартингалом относительно меры Р, причем относительно некоторого класса вероятностных мер Q~P он (процесс (5, )/г0) является локальным мартингалом, был построен критерий Б-представимости.

В работах [47,49,53,13,21] построено, так называемое, опциональное разложение [47,49,53,13,21], которое является обобщением известного разложения Дуба-Мейера.
В работе [37], в предположении, что (5’,)1г0 допускает представление и 5, =5М(1 + /?,), 5, „0 = 50, где р,
последовательность бернуллиевских случайных величин, такая, что Мр{ = 0, была доказана теорема о £ -представлении для дискретного времени.
Подробный обзор результатов, связанных с теоремами о представлении мартингалов можно найти в [37,10].
3. В диссертации для построения различных представлений для ограниченных функционалов /(б1.), заданных на траекториях последовательности ),г0 применяется теория оптимального стохастического управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием (со) > 0, у которого 1пЛ„ («) представим в виде суммы терминальной части, представляющей собой ограниченный измеримый функционал (5.) заданный на траекториях процесса (5, );г0, и профита представляющего собой кумулянту, построенную по последовательности (5'()(г0 относительно некоторой меры (2. В связи с этим перейдем к обзору основных результатов теории оптимального управления стохастическими последовательностями.
В настоящее время существует два подхода в теории оптимального управления случайными последовательностями. Первый подход - его можно назвать стохастическим вариантом принципа максимума Понтрягина, подробно изложенный в [1], в которой были получены необходимые условия существования

х П ехр {О (і, .7/, -А)}
ме-Щп.і) іеЛ
і-і+1
Фі-
(18)
2) если условное математическое ожидание правой части (18) конечно для /£ Є Щ, то (3. Є -О.(Р).
Доказательство. 1) Обозначим через Р/3, (Рі’^) сужение меры
на ст-алгебру Рг5. Очевидно, что для У£ Є А^ Р^' <£. Р/3, и по теореме Радона-Никодима существует Р^*(Р)-п.н. единственная функция (а;) - ^/-измеримая, такая, что (ш) = (о;). Очевидно также, что для
любой Р^-измеримой, ограниченной функции (а;) справедливо равенство: М@чр (о») = (аз)
Рассмотрим правую часть (18) для V/?. Є Р,(Р), в силу теоремы Гирсанова имеем Р-п.н. для любого і Є Щ:
фіМ13ехр {/„(«.)} Л , я11МА(*|Р-і)|р5
^ II «Р {<3 (*. Зо , -АД
і=і+і

ехр {/лг(5.)}
X П ехр {б М1М |^] =
3=1+1
= М/3ехр (/лг (5.) + £ С (* 5о_1> -А-) } И5
3=1+1
= /<р) (р., А+і) •
2) Второе утверждение леммы очевидным образом следует из пункта 1 леммы.
6.2.3. Доказательство теоремы 18. 1) Покажем, что для /є Є (0, егц] и У£ Є А/о существует <р Є Р.(Р) такая, что Р-п.н. 1^ (в,, іре ехр {—г} < У}Р Пусть є' = Так как Р-п.н. у}Р^ > 0 для V/ Є А/0, то (11) можно переписать в виде
АР)
1 = Р — ЄЗБІп! МЪ
і ЄА(Р)
у(Р)