Методы статистического анализа надежности сложных систем, основанные на некоторых асимптотически нормальных статистиках

• Автор: Хоссейн Беврани
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

1. КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ ПРИ НЕСЛУЧАЙНОМ ОБЪЕМЕ ВЫБОРКИ

1.1. Асимптотические свойства оценки К1

1.2. Асимптотические свойства оценки К*

1.3. Асимптотические свойства оценки К2

1.4. Асимптотические доверительные границы для К, построенные с помощью оценки К

2. ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ

2.1. Постановка задачи

2.2. Оценки минимального объема выборки

2.2.1.Решение, основанное на центральной предельной теореме

2.2.2.Решения, принимающие во внимание точность нормальной аппроксимации

2.3. Точность нормальной аппроксимации и гарантированные

доверительные интервалы для коэффициента готовности
3. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СТЬЮДЕНТА КАК АСИМПТОТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
3.1. Постановка задачи
3.2. Распределение Стьюдента как масштабная смесь нормальных законов
3.3. Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация
3.4. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением
3.5. О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента

4. КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ОБЪЕМЕ ВЫБОРКИ
4.1. Постановка задачи
4.2. Коэффициент готовности при случайном объеме выборки, имеющем отрицательное биномиальное распределение
4.2.1.Асимптотические свойства оценки КЬ
1' п
4.2.2.Асимптотические свойства оценки К1}
4.2.3.Асимптотические свойства оценки К
4.2.4.Асимптотические доверительные границы для К, построенные с помощью оценки Кнп
ПРИЛОЖЕНИЕ
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Развитие современной математической теории надежности, основанной, в первую очередь, на результатах и методах теории вероятностей и математической статистики, имеет не только вполне естественное серьезное теоретическое значение, но и огромную практическую важность. Это обусловлено, в первую очередь, насущной необходимостью решать на практике большое число конкретных задач, связанных с анализом рисковых ситуаций, то есть определением как размера возможных потерь, так и самой возможности потерь критического, например, катастрофического уровня из-за отказа тех или иных технических или информационных систем. Ситуации, связанные с риском отказов таких систем, чрезвычайно разнообразны. Они могут возникать в самых разных областях человеческой деятельности и могут иметь самые разные последствия -от больших материальных потерь и человеческих жертв при недооценке риска землетрясений, ураганов, наводнений или других природных катаклизмов большой силы при проектировании зданий или защитных сооружений, до значительных материальных и финансовых потерь при недооценке риска отказов энергетических или инфотелекоммуникацион-ных систем.
Многие классические методы оценки показателей надежности, разработанные, как правило, в середине XX века, основаны на идеальных предположениях о том, что параметры, характеризующие, скажем, воздействие внешней среды, имеют нормальное распределение, а параметры, характеризующие надежность составных частей изучаемой системы, например, время жизни (наработки на отказ) имеют показательное (экспоненциальное) распределение. Однако, к сожалению, зачастую применение классических методов приводит к недооценке риска отказов. Причины иногда имеющей место несостоятельности классических моделей могут быть разными. К примеру, если показатели надежности

димо и достаточно, чтобы
Рв(Мп < дпх) => С7/2,7/2(аг) п У оо, в е 0.
Доказательство этого результата приведено в [21].
Следствие 3.1. Пусть г > 0 произвольно. Предположим, что при каждом та > 1 случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р = £ иг. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (3.4). Тогда при каждом в €Е ©
Рв(6{9)л/гп(Тнп - 1(0)) < х) =>• Р2г(ж) (та -* оо),
равномерно по х € Я, где Р2г(х) - функция распределения Стъюдента с параметром 7 = 2г.
Доказательство этого результата приведено в [21].
Замечание 3.1. Распределение Коши (7 = 1) возникает в ситуации, описанной в следствии 3.1, когда объем выборки ЛГ„ имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р=^,г = |ита велико.
Замечание 3.2. В ситуации, когда объем выборки Ип имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р = - , г = 1 (то есть геометрическое распределение с параметром р = ~), то в пределе при та —> оо мы получаем распределение Стьюдента с параметром 7 = 2, которому соответствует функция распределения
(з7)
Это распределение впервые описано как предельное для выборочной медианы, построенной по выборке случайного объема, в которой объем выборки является случайной величиной с геометрическим распределением, по-видимому, в работе [12]. Следует отметить, что в упомянутой работе распределение (3.7) получено как масштабная смесь нормальных