Приоритетные системы с периодической интенсивностью поступлений

• Автор: Зан Нам Су, 0
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 c. : ил

Системы массового обслуживания с периодической интенсивностью поступлений являются математическими моделями многих реальных ситуаций: обслуживание вызовов на телефонной станции, уцравление садящимися и взлетающими в аэропорту самолетами, обслуживание вызовов на станции скорой помощи и регулирование потоков автомашин на перекрестке - вот далеко не полный перечень явлений, в которых необходима оценка влияния зависимости интенсивности потока от времени на качество работы системы. Необходимость постановок и решения такого сорта задач отмечалась Б.В.Гнеденко и И.Н.Коваленко уже в работе [I] . Начало изучения систем с переменной интенсивностью поступлений следует отнести к середине пятидесятых годов, когда Кларк (1956) (2} и Лучак (1956) [3] рассмотрели распределение длины очереди в системах с показательно распределенными длительностями обслуживания, причем интенсивность поступления и скорость обслуживания зависит от времени. Изучение нестационарного решения интегро-дифференциаль-ного уравнения Такача [4] для системы типа МШ |Сг11 1 <х> занимался Рейч (1958) ( 5) . В некоторых предположениях он установил связь между граничным и начальным условием для функции распределения виртуального времени ожидания ^ Ш . Отметим также работу Евдокимовой ( 6 ) , где находятся условия существования периодического решения уравнения Такача.
Задача, решаемая в предлагаемой работе, возникла при попытке построить математическую модель деятельности диспетчера в аэропорту с одной взлетно/посадочной полосой. Модель аэропорта традиционно присутствует почти во всех учебниках по теории массового обслуживания и используется для иллюстрации таких понятий, как "длительность операции", "выходящий поток", "обслуживание группами" -и т.п. (например, ( 7) ). Очень интересные математические

модели такого сорта были построены Пцрси (8) и Белл [ 9) . Последний проанализировал различные наблюдения и измерения, производимые для изучения управления воздушным транспортом, вывел формулы для стационарных состояний одноканалвной системы с пуас-соновским входящим потоком и постоянным временем обслуживания.
В 1958г. Галдихер и Уилер в работе (23 ] обратили внимание на необходимость учета периодичности интенсивности движения. Они занимались в основном вычислительной стороной задачи. Интенсивность прибытия самолетов в район Вью-Йорка рассматривается как периодически изменяющаяся с периодом, равным одним суткам* Предполагается, что в течение данных суток время приземления постоянно, но принимает одно из двух различных значений (одна или две минуты). Интенсивность аппроксимируется ступенчатой функцией с шагом, равным I час. Для вычисления стационарных вероятностей того, что в конце I -го часа в системе находится П самолетов, вцраженннх через эти вероятности для часа, испольауется формула Краммелина. Отметим недостатки, присущие, по нашему мнению, этой модели:
- для того, чтобы пользоваться предложенным алгоритмом, необходимо знание начального распределения;
- если в аэропорту одна взлетно-посадочная полоса, то время посадки самолета существенно зависит от направления подхода,

и стало быть является случайной величиной;

- при использовании одной полосы для взлета и посадки, нужно изучать систему с двумя типами требований (садящиеся и взлетающие самолеты), причем требования одного типа (садящиеся) имеют приоритет по отношению к требованиям другого типа.
Моделью аэропорта с одной взлетно-посадочной полосой может служить система типа М|Ш, ШI Сг(, Оъ. 111 00 : имеются два пуассоновских потока требований с периодически меняющи-

шея интенсивностями и и функциями распределения
времени обслуживания В| № и Ва(х) ; один обслуживающий прибор и очередь неограничена. Требования первого потока обладают абсолютными приоритетом по отношению к требованиям второго потока. Дисциплина обслуживания требований одного потока естественная.
Основной интерес для приложений представляет периодическое распределение времен ожидания, поскольку именно оно описывает качество работы системы, не зависит от начальных условий. Вычисление этого периодического распределения даже для системы М(У|бгЦ|оо связано со значительными трудностями (см., например, (10] ).
В настоящей работе рассматриваются лишь первые задачи в этом направлении, которые необходимы для построения эффективного вычислительного алгоритма. В смысле техники и математического аппарата работа опирается на литературу(I) ,(10) ,(11) ,(12) , (13) , (14) ,(15) и т.д.
Основные процессы, которые изучаются в диссертации - это процессы начального и полного виртуального времени ожидания. Определение этих понятий дается в гл.1. Устанавливается, что с точки зрения процесса начального виртуального времени ожидания требований низшего приоритета система с приоритетами эквивалентна некоторой системе типа МШКтШИ 1°° , в которой распределение времени обслуживания В^,*) зависит от момента поступления требования в систему.
Далее, для системы типа МШ I (ггШ1 ) °° находится условие существования предельного периодического по 1; распределения Н(Ф,у.) виртуального времени ожидания и предельного рас цределения времени ожидания а -го требования С[(х) (Л со) . Устанавливаются некоторые полезные соотношения для предельных распределений. Как следствия из этих результатов получаются аналогичные утверждения для систем с приоритетами. Используемый ма-

Пусть P(a,Sj - число требований, поступивших в интервале (a, S) . Тогда
Р(^Ц<Ы*17 Ь« 1Л«$а+е1и
- Pf V(o^j = o,
где равенства имеют место, с точностью до бесконечно малой величины более высокого порядка.
Подобным образом находим
Р[М ик<^(2,31)

С другой стороны
Р(М*>”'’4K<5hJ = nРМл1=Пб(Уи. (2-32>
1=1 |
Учитывая (2.30), (2.31) и (2.32) подучаем
рЫ'Т-Т ,
О *, !<-< г=1 =4 (2.33)
-Твс.ДМН? • ■ • j В(
о Si «Н
3) Слабая сходимость распределений виртуального времени ожидания при аппроксимации ^ М >, (t) I (тл (‘t ) М 100 j п=,
Символ Znli) означает процесс виртуального времени ожидания в системе Ии It) I (rrn (t) М I со , У1" О, -1, -2, - " '
а "Ч
Теорема 2.7 . Пусть } Mn(t) I Crnlt) 11 lc,°jn=i -аппроксимация системы ИШ16-ШИ I со . функции )ntf) и Bn ад - ку-сочно-нецрерывна по t в интервале to, 4), т = о> з, • * °
Тогда при > о и л —? со
Z* =>2- -в Dto.a;
Доказательство. Достаточно показать, что в нашем случае выполняются условия I и П параграфа 3.