Аналитические вопросы бесконечномерных распределений

• Автор: Малинский, Сергей Маркович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 101 c. : ил

Глава I. Допустимые сдвиги симметричных устойчивых мер

в гильбертовом пространстве

§1. Вспомогательные сведения

§2. Оценка"снизу” множества - допустимых сдвигов бесконечных свёрток сферически инвариантных

§3. Допустимые сдвиги случайных рядов со сферически инвариантными устойчивыми слагаемыми /операторы

13^ коммутируют

§4. Срязь множества допустимых сдвигов со спектральной мерой Леви, фигурирующей в записи характеристического функционала меры уМ,

§5. Допустимые сдвиги мер Коши и Гаусса

Глава 2. Шолне квазиинвариантность устойчивых мер и мер, соответствующих стандартным последовательностям

случайных величин

§1. Вполне квазиинвариантность свёрток сферически
инвариантных мер и устойчивой продакт-меры
§2. Случай, когда носитель меры Г- произвольное
счётное множество
§3. Описание всех вполне квазиинвариантных мер, соответствующих стандартным последовательностям
случайных величин
Литература

После того, как было доказано, что любому случайному процессу соответствует вероятностная мера, определённая в некотором функциональном пространстве, значительной частью теории случайных процессов стало решение задач теории меры в этих функциональных пространствах.
Важное место в этих задачах занимают вопросы абсолютной непрерывности вероятностных мер в бесконечномерных пространствах, возникающие из задач статистики.
Описание допустимых сдвигов вероятностных мер в функциональных пространствах является частью более общей задачи -выяснения абсолютной непрерывности одной вероятностной меры относительно другой, которая получается преобразованием пространства.
Вопрос об абсолютной непрерывности вероятностной меры при сдвигах возникает, например, при решении такой задачи, как обнаружение сигнала на фоне случайных помех. Знание множества допустимых сдвигов меры позволяет судить о носителе меры и отвечать на вопрос: какие множества имеют меру 0 или I для сдвинутых мер, если известны такие множества для исходной меры. Иногда знание множества допустимых сдвигов позволяет отвечать на вопросы суммируемости зависимых случайных величин.
Если случайный элемент £ принимает значения из множества

допустимых сдвигов меры, соответствующей независимому от £ случайному элементу Ц , то в таком случае возможно положительное решение вопроса абсолютной непрерывности распределения суммы £ + относительно распределения Т£
Наличие абсолютной непрерывности при сдвигах даёт возможность решать задачу об абсолютной непрерывности мер при более сложных преобразованиях пространства.
В бесконечномерном пространстве выяснение абсолютной непрерывности при сдвиге конкретной меры является содержательным фактом, в то время как в конечномерном пространстве вопросы абсолютной непрерывности сводились к простому дифференцированию функции распределения.
В работах [1], [4], [1б], [21], [44], [б4], [бб] изучались допустимые сдвиги гауссовских мер. Полностью допустимые сдвиги гауссовских мер были описаны У.Гренандером [21].
В случае гауссовской меры значительно улучшал ситуацию тот факт, что гауссовская мера - это единственная вероятностная мера, которая, будучи сферически инвариантной, является мерой, порождаемой независимыми случайными величинами.
Следующий класс мер, для которых были найдены необходимые и достаточные условия эквивалентности, это меры, соответствующие последовательностям независимых случайных величин / [17], [18], [б7], [?8]» Простое необходимое и достаточное условие эквивалентности таких мер впервые нашел С.Какутани [б7], который занимался подобными вопросами по предложению фон Неймана. Результат С.Какутани формулируется в терминах расстояния Хеллингера
Г% пУг
р(/и7У)= [рСх)<^(х)] (±Т.
_ с*-=»

§ 4. Связь множества допустимых сдвигов со спектральной мерой Леви, фигурирующей в записи характеристического функционала меры р
В этом параграфе выясняется связь между множеством допустимых сдвигов устойчивой меры ](Х в (И , Л.) и мерой Г » фигурирующей в записи характеристического функционала меры /X
(&) - ~ ГШ)

Также будет рассмотрена связь множества допустимых сдвигов с суммированием устойчивых величин, показатели которых удовлетворяют условию 0 <с^к<2 /не исключается случай, когда О может быть точкой сгущения последовательности /•
Назовём представлением Шенберга вероятностной меры ^1Х в (Н.А) сл едущее
^я(а)- ехр[-(Б^ а,г)] Ш(,) ,
где Су - случайный элемент,
V - мера, являющаяся распределением £,
для почти всех ду является симметричным положительно определённым ядерным оператором в Н
Теорема 9. Пусть для устойчивой меры в (И,Л) имеет место представление Шенберга. Причём известно, что -
собственный базис для почти всех операторов Ё>£ •
I. Если (Ь^А'Д)<00 на множестве положительной меры V ,