Асимптотические свойства статистических процедур анализа смесей вероятностных распределений

• Автор: Горшенин, Андрей Константинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 175 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Свойства медианных модификаций алгоритмов ЕМ-тина
1.1 Свойства медианных модификаций ЕМ-алгоритма
1.1.1 Задача разделения смесей вероятностных распределений
1.1.2 ЕМ-алгоритм для разделения конечных смесей нормальных законов
1.1.3 Относительная эффективность выборочного среднего и выборочной медианы при оценивании параметров положения компонент конечных смесей нормальных законов
1.1.4 Медианные модификации ЕМ-алгоритма
1.1.5 Обоснование целесообразности применения медианной модификации ЕМ-алгоритма для решения задачи разделения конечных смесей нормальных законов
1.2 Свойства стохастических медианных модификаций
ЕМ-алгоритма
1.2.1 ЭЕМ-алгоритм
1.2.2 Медианная модификация ЭЕМ-алгоритма
1.2.3 Свойства ЭЕМ-алгоритмов, получаемые на
основании интерпретации последовательности
оценок как марковской цепи
2 Асимптотически наиболее мощные критерии проверки гипотез о числе компонент смеси вероятностных распределений
2.1 Устойчивость масштабных смесей нормальных законов
относительно смешивающего распределения

2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Модель добавления компоненты
2.1.3 Модель расщепления компоненты
2.1.4 Выводы
2.2 Асимптотически оптимальный критерий проверки гипотез о числе компонент смеси вероятностных распределений в модели добавления компоненты
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Асимптотически наиболее мощный критерий
проверки гипотез о числе компонент смеси
2.2.3 Асимптотическое поведение разности мощностей
2.2.4 Условия конечности моментных характеристик Ф3 .
2.2.5 Примеры конкретных смесей вероятностных
распределений
2.3 Асимптотически оптимальный критерий проверки гипотез о числе компонент смеси вероятностных распределений в модели расщепления компоненты
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Асимптотически наиболее мощный критерий
проверки гипотез о числе компонент смеси
2.3.3 Асимптотическое поведение разности мощностей
2.3.4 Условия конечности моментных характеристик .
2.3.5 Примеры конкретных смесей вероятностных
распределений
2.4 Тестирование критериев
Практическое применение методов разделения смесей вероятностных распределений
3.1 Декомпозиция волатильности с помощью метода скользящего разделения смесей
3.2 Применение медианных модификаций алгоритмов ЕМ-типа для декомпозиции волатильности финансовых индексов
3.3 Эволюция вероятностных характеристик низкочастотной турбулентности плазмы
3.3.1 Описание установки и метода измерения
3.3.2 Структурная ионно-звуковая турбулентность в
установке ТАУ-
3.3.3 Применение ЕМ- и БЕМ-алгоритмов для анализа временных выборок флуктуаций потенциала ионно-звуковой структурной турбулентности
3.3.4 Экспериментальные результаты
3.3.5 Выводы
3.4 Анализ тонкой стохастической структуры хаотических
процессов с помощью ядерных оценок
3.4.1 Исследование тонкой структуры доплеровских спектров флуктуаций плотности в краевой плазме
в тороидальных установках
3.4.2 Метод анализа структуры процесса, основанный на ядерных оценках плотности
3.4.3 Применение метода к реальным данным
3.4.4 Выводы
Список литературы

- плотность нормального распределения со средним а и дисперсией ШХ [, то, во-первых, а — т и, во-вторых, /(т) = 1/х/2тгЖх7, так что
Е(Х„ - а)2 _
Е(т„ - ш)2 7г
Очевидно, что если в нормальном случае для оценивания параметра положения использовать выборочную медиану, то для того, чтобы достичь той же точности, что при использования выборочного среднего, понадобится в я/2 га 1.57 раз больше наблюдений, то есть в таком случае выборочная медиана примерно в полтора раза менее эффективна, нежели выборочное среднее.
При использовании выборочного среднего и выборочной медианы в качестве статистических оценок параметра, характеризующего «центр» распределения, следует заметить, что выборочная медиана обладает большей устойчивостью к присутствию в выборке так называемых «загрязняющих» наблюдений. Действительно, если выборка Х,... ,Хп в некотором смысле не является однородной, то есть наряду с наблюдениями, имеющими функцию распределения ТДж), в ней присутствуют наблюдения с какой-то другой функцией распределения, то в выборочное среднее наряду с «правильными» наблюдениями войдут значения «загрязняющих» наблюдений. При этом если значения «загрязняющих» наблюдений велики, то их присутствие, естественно, сильно смажет итоговую картину. В то же время отклонения выборочной медианы от ее «правильного» значения зависит не столько от значений «загрязняющих» наблюдений, сколько от их числа. Такое свойство выборочной, медианы, как известно, называется робастностью.
Вышеупомянутое свойство робастности выборочной медианы хорошо иллюстрируется на примере следующей ситуации. Предположим, что в независимой выборке Х,..., Хп все элементы имеют одну и ту же плотность распределения
а л V-* VI [ (^-а)2)
где 0 < рг < 1, г = 1, к, + ... + рк = 1, и ег2 > 0. Эту ситуацию можно интерпретировать как наличие в выборке примерно р.[ ■ 100% наблюдений с нормальным распределением, имеющим параметры а и <т2, г = 1, к, то есть изучаемая популяция (генеральная совокупность) является смесью к популяций, каждая из которых нормально распределена с параметрами