О сходимости к равновесию для статистических решений уравнений с частными производными и разностных уравнений. Двух-температурная задача с перемешиванием

• Автор: Дудникова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 192 с.

0.1. Введение
0.1.1. Актуальность темы
0.1.2. Обозначения и определения
0.1.3. Основные результаты
0.1.4. О методах исследования
0.1.5. Известные результаты
I Гиперболические уравнения
1. Волновое уравнение
1.1. Введение
1.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию
1.1.2. Условие перемешивания
1.2. Главные результаты
1.2.1. Основная теорема
1.2.2. Примеры
1.3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами
1.4. Приложение к случаю гиббсовских мер
1.4.1. Гиббсовские меры
1.4.2. Сходимость к равновесию
1.4.3. Предельный поток энергии
1.5. Компактность семейства мер
1.6. Сходимость корреляционных функций
1.7. Корреляционные функции в общем случае
1.8. Метод Бернштейна для волнового уравнения
1.9. Сходимость характеристических функционалов
1.10. Условие Линдеберга
1.11. Моментные функции четвертого порядка

1.12. Теория рассеяния для решений с бесконечной энергией
1.13. Сходимость к равновесию для переменных коэффициентов
1.14. Оценки Вайнберга
1.15. Эргодичность и перемешивание для предельных мер
1.16. Дополнения
1.16.1. Дополнение А1. Преобразование Радона
1.16.2. Дополнение А2. Гауссовские меры в пространствах Соболева
2. Уравнение Клейна - Гордона
2.1. Введение
2.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию
2.1.2. Условие перемешивания
2.1.3. Статистические условия и основной результат
2.2. Уравнения с постоянными коэффициентами
2.3. Приложение к случаю гиббсовских мер
2.3.1. Гиббсовские меры
2.3.2. Предельный поток энергии для сглаженных полей
2.4. Оценки для начальной ковариации
2.4.1. Перемешивание в терминах спектральной плотности
2.4.2. Разложение начальной ковариации
2.5. Равномерные оценки и сходимость ковариации
2.6. Компактность семейства мер
2.7. Метод Бернштейна для уравнения Клейна - Гордона
2.8. Сходимость характеристических функционалов
2.9. Переменные коэффициенты: Теория рассеяния для решений бесконечной энергии
2.10. Эргодичность и перемешивание для предельных мер
2.11. Дополнения
2.11.1. Дополнение АЗ. Преобразование Фурье
2.11.2. Дополнение А4. Сингулярные осциллирующие интегралы
II Разностные уравнения
3. Гармонический кристалл

3.1. Введение
3.1.1. Динамика
3.1.2. Сходимость к статистическому равновесию
3.1.3. Условие перемешивания
3.1.4. Статистические условия и результаты
3.1.5. Примеры
3.2. Приложение ко Второму закону
3.2.1. Поток энергии
3.2.2. Гиббсовские меры
3.3. Оценки для начальной ковариации
3.4. Компакность семейства мер
3.5. “Вырезание” критического спектра
3.5.1. Равномерная непрерывность ковариации
3.5.2. Равномерная непрерывность характеристических функционалов
3.6. Сходимость корреляционных функций для некритического спектра
3.6.1. Сходимость Qf(x,y)
3.6.2. Сходимость Q^{x,y)
3.6.3. Сходимость Ql(x,y)
3.7. Техника Бернштейна
3.7.1. Осциллирующие интегралы и метод стационарной
фазы
3.7.2. Разбиение на ’’комнаты - коридоры”
3.8. Условие Линдеберга
3.9. Эргодичность и перемешивание для предельных мер
3.10. Дополнения
3.10.1. Дополнение А5. Динамика и ковариация в преобразовании Фурье
3.10.2. Дополнение А6. Об ослаблении условия перемешивания
4. Литература

Далее рассмотрим случаи шп < 0 и шп > 0 отдельно. При шп < 0 и достаточно больших £ > 1,(ш) получаем
хп + шпЬ < -а, уп + шпЬ + Рп < -а, при р < г0 + Я.
Тогда из условия Э1 следует, что
ут)2(и+ + р, у + шг + р)
= Т)к(ш1, V3.)X>i(w^ + р, -У*)д“(а -у -р)
£п_3 (2к — п Л (2 — п р
'2к—п

Поэтому, если 0)п < О, то
/ (">?»Г39-(*-#-рК"1Р. <-»°°- (1-6.9)
О!1ПВ0
Интеграл, стоящий в правой части выражения (1.6.9), совпадает с внутренним интегралом из правой части формулы (1.6.4) с / = ц1} и V = х — у. Аналогично доказывается случай шп > 0. Лемма 1.6.3 доказана с дополнительным условием (1.5.6). Теперь откажемся от этого условия. Лемма 1.5.2 и условие Б2 дают равномерную малость интеграла (1.6.7) по области |р| > го + Я с большим значением го, так как
< *»-з
5((-«()ЛДо
Е слкиК+2(х - у - р)
йЯ(р)
п-З 2* гп~ 3-л, п-3 +?°
< Е { т^з17^+1^+2(^ - Я) * < Е С'к / гй’+Ч+2(г-Д)Лг
л=0 Го+Д Г к=° Го+Д
ДЛЯ |р| > Го + Д. Поэтому сходимость (1.6.9) имеет место для любого вектора и> с шп ф 0. Следовательно, сходимость (1.6.5) вытекает из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. ■
Теперь закончим доказательство леммы 1.6.1 в частном случае, когда г = ^ = 0 и но = 0. В силу формул (1.6.2) и (1.6.3), леммы 1.6.3 и следствия 1.16.2, () получаем, что
у) -» "€ * ( что доказывает сходимость (1.6.1) (ср. с формулой (1.2.7)) в рассмотренном частном случае. ■