О мощности критерия знаков в случае распределения Лапласа

• Автор: Королев, Роман Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Асимптотическая задача проверки статистических гипотез
1.1. Асимптотический подход в задачах проверки
статистических гипотез
1.2. Случай распределения Лапласа
1.3. Порядок разности мощностей критериев в случае
распределения Лапласа
2. Асимптотическая аппроксимация для мощностей критериев в случае распределения Лапласа
2.1. Асимптотические разложения для мощностей критериев .
2.1.1. Асимптотические разложения для мощности
критерия, основанного на знаковой статистике
2.1.2. Асимптотическое разложение для мощности
критерия, основанного на логарифме отношения правдоподобия
2.2. Численная аппроксимация мощностей критериев
2.2.1. Аппроксимация мощности критерия, основанного
на знаковой статистике
2.2.2. Аппроксимация мощности критерия, основанного
на логарифме отношения правдоподобия
2.2.3. Аппроксимация для дефекта критерия, основанного
на знаковой статистике
2.3. Предел для нормированной разности мощностей критериев
в случае распределения Лапласа
2.3.1. Формула для разности мощностей критериев
2.3.2. Доказательство вспомогательных лемм

3. Формула для предела нормированной разности мощностей критериев
3.1. Основная теорема
3.2. Доказательство основной теоремы
3.3. Проверка достаточных условий теоремы в случае распределения Лапласа
Приложение. Графики
Литература

Введение
В 1774 году Пьер-Симон Лаплас в своей статье «Sur la probabilité des causes par les événements» (cm. [38] и литературу там) предложил естественный вероятностный закон для ошибки измерений в такой формулировке: логарифм частоты ошибки есть линейная функция абсолютного значения ошибки. Естественность этого вероятностного закона он объяснял так: «Чем дальше результат измерения от истинного значения, тем менее вероятным он должен быть, при этом такое уменьшение вероятности не может быть постоянным. Поскольку нет причин считать, что с ростом ошибки сами вероятности и последовательные разности между вероятностями убывают по-разному, то следует приравнять отношения двух бесконечно близких разностей вероятностей и двух бесконечно близких вероятностей. Интегрирование этого равенства показывает, что вероятность ошибки выражается как экспоненциальная функция самой ошибки независимо от ее знака». Назвав этот закон первым законом для ошибки измерений, который исторически является первым вероятностым распределением с неограниченным носителем, Лаплас уже через 4 года в своей фундаментальной работе «Théorie Analytique» (см. [38] и литературу там) рассматривает второй вероятностный закон, который гласит: логарифм частоты ошибки измерений есть квадратичная функция ошибки. Именно этот второй закон благодаря хорошим аналитическим свойствам будет детально исследоваться все последующее время, получит название «нормальное распределение» и займет главное место в теории вероятностей вследствие центральной предельной теоремы. Лишь спустя почти 150 лет известный экономист и математик Дж. Кейнс (см. [38] и литературу там) напомнит о существовании первого закона для ошибки измерений и получит его вновь из предположения, что наиболее вероятное значение измеряемой величины есть ее медиана. Следом за ним известный математик Э. Уилсон (см. [38] и литературу там) с помощью непараметрических методов покажет на одном примере,

Еп,о|Д„СО| 1 (-уп~1/2,А) (IДга(^) |) = 0{п~% (1.3.2)
Рп,о(Д„(*) > А) = о(п-г), (1.3.3)
РгМп-1/2(Ап(4) ^ —А) = о(п-6). (1.3.4)
Найдем сначала выражения для ЕП1оДп(£), ЕП1оД2(£). Из соотношения (1.2.14) непосредственно получаем

ЕпдДгьСО = — 2п Е0(Х1 - £та_1//2)1[0 гп-1/2](Х1), (1.3.5)
Еп,оД2(£) = 0П)оД71(£) + (Е„1оДга(£))2 =
= 4п О0(Х, — £п-1//2)1[0)4п-1/2](Д1) + (ЕпдДпОО)2- (1.3.6)
Отсюда видно, что достаточно найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины рД —0)1[од](Х1). Для нее было получено выражение для характеристической функции дор) (см. (1.2.15)). Дифференцируя функцию дв{в) по 5, получаем
ЕоРД - в^о^Хг) = = 1(1 _ в - е~&), (1.3.7)
Ео^! - 0)21[о,е]№) = -д(/}(0) = у + (1 - 0 - е~в). (1.3.8)
Полагая в выражениях (1.3.7), (1.3.8) в = £п~1/2 из (1.3.5), (1.3.6),
получаем
Е.„0Д..(г) - 4 - „ (1 - -* = - (1.3.9)
е-«д»м - 4" (я + 1 - ^ ~ ^ - I«1 ” -я +
+ (Т + Ч - £ - ^Ч)2 = ^ + 0(п-). (1.3.10)
Теперь соотношение (1.3.3) следует из неравенства Чебышёва, поскольку при 0 ^ 8 < 1/2 из (1.3.10) получаем, что
Рп,о(Д„(*) > А) < = 0{п-1/2} = 0{п-бу (1 з и)
Для проверки соотношения (1.3.4) найдем характеристическую функцию случайной величины (Хг — 0)1[Од](Х1) при альтернативе в. Имеем
ЕрйЧОб-^ЧадОб) _ £оей-У11[-в,о1(-^1) =